Supongamos que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es diferenciable en a $c$ y $f(c)=0$. Mostrar que $g(x)=|f(x)|$es diferenciable en a $c$ fib $f'(c)=0$
$\implies$
Supongamos $g'(c)$ existe
Entonces tenemos que para $x<c$, $\lim_{x \to c}\frac{g(x)-g(c)}{x-c}$ =$\lim_{x \to c}\frac{|f(x)|}{x-c} \le 0$
y para $x>c$, $\lim_{x \to c}\frac{g(x)-g(c)}{x-c}$ =$\lim_{x \to c}\frac{|f(x)|}{x-c} \ge 0$
Entonces, por el teorema del sándwich, tenemos que $g'(c)=0$
Puede alguien por favor decirme cómo utilizar el mencionado resultado para obtener el punto de que yo pueda demostrar que $f'(c)=0$?
$\impliedby$
$f'(c) = 0 \implies \lim_{x \to c}\frac{f(x)}{x-c} =0$ $\implies |f'(c)|=0 = g'(c)$
Puede alguien por favor verificar esta prueba y también ayudar a llegar a el resultado que está envalentonado? También me gustaría saber si usted podría dar algunos consejos/sugerencias para el planteamiento de estas preguntas y si hay maneras más fáciles de la prueba de esto.
Gracias.
