La desigualdad (9no grado): $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1$

Question

Mostrar que $$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1,\:\forall n\in\mathbb{N}$$ Esta es una de 9no grado de problema. Yo estaba tratando de tomar el mayor numerador, que es el último numerador de la última fracción. Pero sólo hay $2n+1$ términos. A la derecha? Después de eso no tengo idea. Thx!

Answer 1

Hay $2n+1$ términos en la suma, sólo es necesario vincular los términos simétricamente en ambos extremos, tomar media y comparar con el plazo en el medio. $$\begin{align}\sum_{k=n+1}^{3n+1} \frac{1}{k} &= \sum_{k=-n}^n\frac{1}{2n+1+k} = \frac12\sum_{k=-n}^n\left(\frac{1}{2n+1+k} + \frac{1}{2n+1-k}\right)\\ &= \sum_{k=-n}^n \frac{2n+1}{(2n+1)^2-k^2} \stackrel{\color{blue}{\text{ assume } n> 0}}{>} \sum_{k=-n}^n \frac{1}{2n+1} = \frac{2n+1}{2n+1} = 1\end{align}$$

Answer 2

Por C-S $$\sum_{k=1}^{2n+1}\frac{1}{n+k}\geq\frac{(2n+1)^2}{\sum\limits_{k=1}^{2n+1}(n+k)}=\frac{(2n+1)^2}{\frac{(2(n+1)+2n)(2n+1)}{2}}=1.$$

Answer 3

Utilice el método dado en esta respuesta por Jack D'Aurizio.

Nota: $H_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n=\sum_{k=1}^n \frac1n$ se llama $n$-ésimo número armónico.

Entonces: $$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}=\sum_{k=1}^{2n+1}\frac{1}{n+k}=H_{3n+1}-H_{n}.$$ Considere la secuencia: $a_n=H_{3n+1}-H_n$. Vamos a demostrar que es un aumento de la secuencia: $$a_{n+1}-a_n=(H_{3(n+1)+1}-H_{n+1})-(H_{3n+1}-H_n)=\\ (H_{3n+4}-H_{3n+1})-(H_{n+1}-H_n)=\\ \frac{1}{3n+4}+\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+1}-\frac{1}{n+1}>\\ \frac{1}{3n+4}+\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+\color{red}{3}}+\frac{1}{3n+\color{red}{3}}-\frac{1}{n+1}=\\ \frac{1}{3n+4}>0 \Rightarrow a_{n+1}>a_n.$$ Por lo tanto: $$a_1=H_{3+1}-H_1=\sum_{k=1}^{2+1} \frac{1}{1+k}=\frac12+\frac13+\frac14=\frac {13}{12}>1.$$