Es $y > 0$ bastante de una condición para sustituir a$\min (x-1/y)^2$$\min (xy - 1)^2$?

Question

Si tenemos un problema de elección de $x,y$ a minimizar $ (x-1/y)^2$ dado algunas restricciones, donde una de esas limitaciones es que el $y > 0$, podemos resolver este problema en lugar de minimizar $(xy - 1)^2$, con las limitaciones de ser el mismo?

Mi pensamiento es que si el objetivo es recoger $x,y$, de modo que $x \approx 1/y$, entonces eso debería ser similar/igual a recoger $x,y$, de modo que $xy \approx 1$.

Answer 1

Esa es una pregunta muy interesante, y la respuesta es no. La razón es que en la ecuación de $$\left(x-\frac1y\right)^2=\frac1{y^2}\left(xy-1\right)^2$$ el factor de $\frac1{y^2}$ puede tener un no-trivial efecto.

Por ejemplo, si las restricciones son que $\left(\matrix{x\\y}\right)$ tiene que estar en el set con dos elementos $$S=\left\lbrace v_1\left(\matrix{x=1000\\y=0.01}\right),v_2\left(\matrix{x=110\\y=0.1}\right)\right\rbrace$$

Usted verá que $(xy-1)^2$ es $81$ o $100$, y el mínimo se obtiene para $v_1$.

Pero al dividir estos valores por $y^2$, $81$ vuelve $810000$, mientras que de $100$ se convierte sólo en $10000$, por lo que el mínimo de $\left(x-\frac1y\right)^2$ es obtenido por $v_2$.

Answer 2

Teniendo en cuenta el cambio de variables

$$ (x,y)\(\eta,y)\ \ \mbox{con} \ \ \eta = xy $$

una con la contribución de una variable de holgura ($\epsilon$) tenemos las formulaciones

$$ L_1(\eta,y,\lambda\epsilon) = \frac{(\eta-1)^2}{y^2}+\lambda(y - \epsilon^2)\\ L_2(\eta,y,\lambda\epsilon) = (\eta-1)^2+\lambda(y - \epsilon^2) $$

Los puntos estacionarios condiciones de dar

$$ \nabla L_1 = \left\{\frac{2 (\eta -1)}{y^2},\lambda -\frac{2 (\eta -1)^2}{y^3},y-\epsilon ^2,-2 \epsilon \lambda \right\} = 0 $$

y

$$ \nabla L_2 = \left\{2 (\eta -1),\lambda ,y-\epsilon ^2,-2 \epsilon \lambda \right\} = 0 $$

con las soluciones

$$ L_1 \a \left\{\eta = 1,\lambda = 0,\epsilon = \sqrt{y}\right\} $$

y

$$ L_2\a \left\{\eta = 1,y= \epsilon ^2,\lambda = 0\right\} $$

El resultado de $L_1$ nos asegura que todo el conjunto de puntos de $x y = 1, y > 0$ son soluciones, mientras que el segundo resultado para $L_2$ nos asegura que el punto mínimo es también para $x y = 1, y > 0$ por lo tanto son completamente equivalente a la medida de este ejemplo nos muestra.