Dejemos que $\alpha_k=1,2,...,10$ sean las raíces de la unidad de orden 11, $\alpha_k \neq 1$ .

Question

Dejemos que $\alpha_k=1,2,...,10$ sean las raíces de la unidad de orden 11, $\alpha_k \neq 1$ . A continuación, calcula la siguiente suma:

$$\sum_{k=1}^{10}\frac{1-\overline{\alpha_k}}{1+\alpha_k}.$$

Así que lo que hice fue pensar que las raíces o la unidad deben ser las raíces del polinomio:

$$f=x^{10}+x^{9}+x^{8}+...+1=0$$

entonces $f=x^{11}-1=0\to x^{11}=1$ y encontró que

$$\alpha_k=(\cos(\frac{2k\pi}{11})+i\sin(\frac{2k\pi}{11}).$$

Pero sólo con ponerlos en la fórmula no es realmente agradable de resolver.. ¿hay alguna otra forma que no sea calcular la suma "tal cual"?

Answer 1

Consideremos el caso general.

Dejemos que $\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}$ sea el $n$ -raíces de la unidad diferentes de $1$ , donde $n$ es impar para evitar la división por cero.

Tenga en cuenta que $\alpha$ es un $n$ -raíz de la unidad si $\overline{\alpha}$ es un $n$ -raíz de la unidad.

Empareja los términos de la siguiente manera: $$ \frac{1-\overline{\alpha_k}}{1+\alpha_k}+ \frac{1-\alpha_k}{1+\overline{\alpha_k}} = 2-\alpha_k-\overline{\alpha_k} $$ porque $\overline{\alpha_k}=1/\alpha$ .

Suma ambos lados para obtener $$ 2\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1-\overline{\alpha_k}}{1+\alpha_k}= 2(n-1)-\sum_{k=1}^{n-1}\alpha_k-\sum_{k=1}^{n-1}\overline{\alpha_k} =2(n-1)+2 =2n $$ porque $1+\sum_{k=1}^{n-1}\alpha_k=0$ ya que no hay $x^{n-1}$ término en $x^n-1=0$ .