grado de $\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$ $\mathbb Q$

Question

¿Cómo puedo encontrar el grado del polinomio mínimo $P \in \mathbb Q[x]$ tal que $P(\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}) = 0$ ?

Recientemente he demostrado que los $\mathbb Q[\sqrt{2} + \sqrt{3}] = \mathbb Q[\sqrt{2}, \sqrt{3}]$$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^{-1} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$, lo $2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{2} + \sqrt{3})$ etc.

Pero, ¿cómo puedo expresar $\sqrt{2}$ o $\sqrt[3]{3}$$\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$?

Es $\mathbb Q[\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}]$ igual a $\mathbb Q[\sqrt{2}, \sqrt[3]{3}]$?

Gracias

Answer 1

Sugerencia: Compruebe que automorfismos de a ${\mathbf Q}[\sqrt 2,\sqrt[3]{3},e^{2\pi i/3}]$ fix ${\mathbf Q}[\sqrt2+\sqrt[3]{3}]$.

Answer 2

Sugerencia: es suficiente para probar que $\mathbb Q[\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}] =\mathbb Q[\sqrt{2},\sqrt[3]{3}]$ porque entonces los siguientes datos implican que el grado de $\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$ es exactamente $6$:

• $\mathbb Q[\sqrt{2},\sqrt[3]{3}]$ tiene un grado mínimo de $6$

• $\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$ es una raíz de un polinomio de grado $6$

• $\mathbb Q[\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}]$ tiene un grado en la mayoría de las $6$

Alternativamente, $\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$ es una raíz de $x^6 - 6 x^4 - 6 x^3 + 12 x^2 - 36 x + 1$, que es irreducible porque es irreductible mod $13$. Pero eso es un montón de trabajo que hacer a mano.