Suma de $1+4\epsilon +9\epsilon^2 +16\epsilon^3+...+2018^2 \epsilon^{2017}$

Question

Tengo este problema desde un examen de la universidad: Que $\epsilon$ sea una raíz no real de la unidad de orden 2018, encuentre la suma $$S=1+4\epsilon +9\epsilon^2 +16\epsilon^3+...+2018^2 \epsilon^{2017}$$ Aquí está mi intento. Primero consideré $$S_1=\sum_{k=0}^{2018} x^k=\frac{1-x^{2019}}{1-x}$$ Ahora derivo una vez y luego vuelvo a multiplicar por x para obtener: $$\sum_{k=0}^{2018} kx^k=\frac{x-x^{2020}-2019x^{2019}}{(1-x)^2}$$ Y ahora debo derivar una vez más y poner $x=\epsilon$ para obtener la suma deseada: $$S=\sum_{k=0}^{2018} k^2\epsilon^{k-1}=\frac{2019^2\epsilon^{2018}-2020\epsilon^{2020}-(2019^2-3\cdot2019-1)\epsilon^{2019}-\epsilon-1}{(1-\epsilon)^3}$$ Y mi simplificación final para el numerador fue: $$\epsilon(2019^2-2021)-2018\epsilon^2-2019^2-1$$ Ahora había 5 respuestas dadas, y ni una sola se acercaba a esta. No hay suerte porque sólo 2 respuestas tenían $1-\epsilon$ en el denominador he elegido el correcto, que era: $$S=\frac{2018(2018\epsilon-2020)}{(1-\epsilon)^2}$$ ¿Puede ayudarme a obtener esa respuesta?

Answer 1

Utilizar el operador $\delta = x \, \frac{d}{dx}$ lleva a \begin{align} \sum_{k=0}^{n} x^{k} &= \frac{1 - x^{n+1}}{1-x} \\ \sum_{k=0}^{n} k \, x^{k} &= \delta \left(\frac{1 - x^{n+1}}{1-x} \right) = \frac{x - (n+1) x^{n+1} + n x^{n+2}}{(1-x)^2} \\ \sum_{k=0}^{n} k^{2} \, x^{k} &= \delta^{2} \left(\frac{1 - x^{n+1}}{1-x} \right) = \frac{x(1 + x - (n+1)^2 x^n + (2n^2 +2n -1) x^{n+1} - n^2 x^{n+2})}{(1-x)^{3}} \end{align} Dejar $x^{n} =1$ da \begin{align} \sum_{k=1}^{n} k^{2} \, x^{k-1} &= \frac{1 + x - (n+1)^2 + (2n^2 +2n -1) x - n^2 x^2}{(1-x)^{3}} \\ &= - \frac{n \, (n+2 + 2 (n+1) x + n x^2)}{(1-x)^3} \end{align} Ahora dejemos que $n=2018$ .

Answer 2

Considere la suma $$1+x+x^2+\dots+x^{2018}=\frac{1-x^{2019}}{1-x}$$ Diferencia ambos lados una vez: $$1+2x+3x^2+\dots+2018x^{2017}=\frac{1-x^{2019}}{{(1-x)}^2}-\frac{2019x^{2018}}{1-x}$$

Multiplica ambos lados por $x$ : $$x+2x^2+3x^3+\dots+2018x^{2018}=\frac{x-x^{2020}}{{(1-x)}^2}-\frac{2019x^{2019}}{1-x}$$ y diferenciar de nuevo con respecto a ella: $$S'=1+4x +9x^2 +16x^3+...+2018^2 x^{2017}$$ En el lado derecho, $$S'=\frac{2(x-x^{2020})}{(1-x)^3}+\frac{1-2020x^{2019}-2019x^{2019}}{(1-x)^2}-\frac{2019^2x^{2018}}{1-x}$$ Ahora, al darse cuenta $\epsilon$ es una raíz de la unidad de orden 2018, con $$\begin{cases} \epsilon^{2018} = 1 \\ \epsilon^{2019} = \epsilon \\ \epsilon^{2020} = \epsilon^2 \text{,} \\ \end{cases}$$ entonces tienes $$\begin{align}S&=\frac{2(\epsilon-\epsilon^2)}{(1-\epsilon)^3}+\frac{1-2020\epsilon-2019\epsilon}{(1-\epsilon)^2}-\frac{2019^2}{1-\epsilon}\\ &=\frac{2\epsilon+1-2020\epsilon-2019\epsilon-2019^2+2019^2\epsilon}{(1-\epsilon)^2}\\&=\frac{2018^2\epsilon+(1+2019)(-2018)}{(1-\epsilon)^2}\\&=\frac{2018(2018\epsilon-2020)}{(1-\epsilon)^2}\end{align}$$

Comentario: Una suma correcta te da una respuesta correcta. Además, no introduzcas $\epsilon$ hasta tener la suma deseada porque hay algo que "llevar".

Answer 3

Aquí hay una manera de pasar.

Usted tiene $s=1+ \dots +x^{2018}$ para que $(xs')'=xs''+s'=x+4x^2+\dots +(2018)^2x^{2017}$

Hagamos el caso general con $n$ en lugar de $2018$ para que:

$$s=\frac {x^{n+1}-1}{x-1}=\frac {p(x)}{q(x)}$$

Ahora bien, hay que tener en cuenta que la evaluación en $\epsilon$ donde $\epsilon^n=1$ tenemos $p(\epsilon)=q(\epsilon)$ , $p'(\epsilon)=n+1$ y $\epsilon p''(\epsilon)=n(n+1)$ . También hemos $q'(x)=1$ y $q''(x)=0$ que se puede aplicar antes de evaluar.

A continuación, tomamos las derivadas necesarias $$s'=\frac {p'q-pq'}{q^2}=\frac {p'q-p}{q^2}$$ y $$(xs')'=\left(\frac{xp'q-xp}{q^2}\right)'=\frac{\left(p'q+xp''q+xp'-p-xp'\right)q^2-2q\left(xp'q-xp\right)}{q^4}$$

Ahora podemos evaluar en $\epsilon$ utilizando las simplificaciones señaladas anteriormente para que el numerador se convierta en $$\left((n+1)q+n(n+1)q-q\right)q^2-2q^2\epsilon n=$$$$ =(n^2+2n)q^3-2q^2\Nepsilon n $$ and taking out a factor of $ q^2 $ to cancel with the denominator, and setting $ q=\epsilon -1 $ we get a numerator of $$ n^2\epsilon-n(n+2)$$ como se requiere.

Creo que esto simplifica un poco los cálculos. El truco de poner $n$ en lugar de una constante grande puede, en los casos apropiados, ahorrar bastante escritura en este tipo de preguntas y también puede ayudar a iluminar lo que está pasando, ya que algunas de las cancelaciones y factorizaciones pueden ser más obvias.