Cuasi-Cauchy secuencias

Question

Secuencia $(x_n)$ se llama cuasi-Cauchy si $\lim_{n\rightarrow\infty}|x_{n+1}-x_n|=0.$ Necesito ayuda para demostrar los siguientes teoremas:

1. Cuasi-Cauchy secuencia de números reales es de Cauchy si y sólo si tiene exactamente un clúster de punto.
2. La secuencia de los números reales es de Cauchy si y sólo si cada subsequence es cuasi-Cauchy.

Entiendo las implicaciones para el derecho (que son triviales), pero tienen problemas para demostrar de la manera opuesta. Cualquier ayuda se agradece :)

Answer 1

Para el R-a-L de 1. supongamos $(x_n)_n$ es cuasi-Cauchy y tiene un clúster de punto de $p$ pero $(x_n)_n$ no es de Cauchy. A continuación, $(x_n)_n$ no converge a $p,$, por lo que no existe $r>0$ de manera tal que el conjunto $$S=\{n: |x_n-p|\geq r\}$$ es infinito.

Tome $n_0$ tal que $n> n_0\implies |x_n-x_{n+1}|<r/3.$ Ahora el conjunto $$T=\{n:|x_n-p|< r/3\}$$ is also infinite because $p$ is a cluster point of $(x_n)_n$.

Para $n_0<n\in T$ existe $n'> n$ $n'\in S.$ $n_0<n\in T$ deje $f(n)$ ser el menos $n'>n$ tal que $n'\in S.$

Observar que el conjunto de $U=\{f(n): n_0<n\in T\}$ es infinito . Tenemos $$m\in U\implies (\;|x_m-p|\geq r \;\land \;|x_m-x_{m-1}|<r/3 \;\land\; |x_{m-1}-p|<r\;).$$ So for $m\en U$ we have $$x_m\in V=[p-4r/3,p-2r/3]\;\cup \; [p+2r/3, p+4r/3].$$ But there are infinitely many $m\U,$ so $(x_n)_n$ must have a cluster point $q\in V$, and obviously $q\ne p.$

Resumen: Un cuasi-Cauchy secuencia $(x_n)_n$ con un solo clúster punto de $p$ debe ser convergente a $p$, de lo contrario $(x_n)_n$ tendría otro clúster punto de $q$.

Answer 2

1. Cualquier secuencia de números reales que tiene exactamente un clúster de punto es una de Cauchy.
2. Si $(a_n ) $ no es de Cauchy de la secuencia, entonces no es convergente. Por lo tanto, no existe un subseqences $(x_{n_k } )$, $(y_{m_k} )$ de $(a_n )$ tal que $x_{n_k }\to x, y_{n_k }\to y$ $x\neq y $ $n_k \neq m_k $ todos los $k.$ lo considera un subsequence $(z_k)$ $(a_n)$ definido por $z_{2k-1} =x_{n_k} , z_{2k} =y_{m_k}.$ $$\lim_{k\to\infty} |z_k -z_{k+1}|=\lim_{k\to\infty} |x_{n_k} -y_{m_k}|=|x-y|\neq 0$$ de ahí la larga $(z_k)$ no es cuasi-Cauchy.