La solución de un no-cero de la ecuación de segundo grado con dos variables

Question

Tengo un problema cuando estoy a encontrar la intersección entre las dos curvas $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ xy = 2, \end{casos} $$ que fácilmente se puede ver que los dos puntos de $\pm(2,1)$ son las verdaderas soluciones a este problema, pero no sé cómo resolver esto de forma sistemática. He probado dos enfoques para resolver como una ecuación cuadrática:

enfoque 1 (insertar la segunda ecuación en la primera):

$$ 4x^2 - 4y^2 + 4xy = 20 \Leftrightarrow (2x + y)^2 - 5y^2 = 20 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pm\sqrt{5 a^2 + 20} - y}{2} $$

enfoque 2 (sustituto $y$$x$):

$$ x=\frac{2}{y} \Rightarrow x^2 - \frac{4}{x^2} = 3 \Leftrightarrow x^4 - 3x^2 - 4 = 0 $$

Pero no sé cómo continuar a partir de aquí. He encontrado esto de matemáticas.stackexchange pregunta donde se resuelve una ecuación similar a través de estos dos enfoques, pero que no terminan con una constante en la raíz, ya que tienen $0$ sobre el lado derecho. Además, dado que la ecuación no tiene soluciones reales, no entiendo cómo se aplican a esta ecuación.

¿Cómo puedo resolver este tipo de ecuación de forma sistemática? (no es 100% seguro de qué tipo de la ecuación es)

Ediciones:

Corregida la sustitución de forma incorrecta sustitución de $y$$y$. Yo había llegado a este paso anterior, pero todavía no sé cómo resolver la ecuación.

Answer 1

Multiplicar la primera ecuación por $x^2$, y el sustituto de $xy$ de la segunda:

$$x^4-x^2y^2-3x^2=x^4-4-3x^2=0.$$

Este es un biquadratic ecuación, que da a las raíces $x^2=4$$x^2=-1$. Si usted está interesado sólo en las soluciones reales,

$$x=\pm2,y=\frac2x.$$

Answer 2

$$\begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ xy = 2, \end{casos}$$

La sustitución es el siguiente, sustituto $y$ en la primera ecuación con valor de acuerdo a la segunda ecuación en este caso. $$x^2-\frac4{x^2}=3$$ Que es $y=2/x$ de acuerdo a la segunda ecuación. La sustitución debe siempre conducir a una reducción en el número de variables.

La solución de $x^2-\frac4{x^2}=3$ $x$ rendimientos $$x^4 -3x^2-4=0.$$ This equation has two real solutions $x=2$ and $x=-2$ (there are also two complex solutions at $x=i$ and $x=-i$). Plugging $x= \pm 2$ into the initial equations yields $y=\pm 1$. Likewise, you can obtain the complex solutions of $s$ by plugging $x=\pm i$ into the initial equations which yields $y=\pm 2i$.

Answer 3

Una idea para usted:

Multiplicar la segunda ecuación por dos: $\;2xy=4\;$ , y restar de la primera ecuación, obteniendo:

$$x^2-2xy-(y^2-1)=0$$

La solución a esta ecuación cuadrática en $\;x\;$ es:

$$\Delta=4y^2+4y^2-4=4(2y^2-1)\implies x_{1,2}=y\pm\sqrt{2y^2-1}$$

y ahora sustituye en la primera ecuación, decir:

$$\overbrace{y^2\pm2y\sqrt{2y^2-1}+2y^2-1}^{=x^2}-y^2=3\implies y^2\pm y\sqrt{2y^2-1}=2\implies$$

$$y^4-4y^2+4=2y^4-y^2\implies y^4+3y^2-4=0\iff (y^2+4)(y^2-1)=0\implies$$

$$y=\pm1\implies x=\pm1\pm\sqrt{2-1}=\pm1\pm1$$

y puesto que las soluciones de $\;(x,y)\;$ debe tener el mismo signo y ambos son claramente diferentes de cero, por fin, llegamos a los candidatos:

$$(2,1)\,,\,\,(-2,-1)$$

Por último, compruebe si las dos anteriores son realmente soluciones (ya que el cuadrado de cosas aquí...)

Answer 4

El segundo enfoque hubiera sido mi elección así. Una vez que hayas encontrado que $$x^4-3x^2-4=0,$$ puede resolver esto como una ecuación cuadrática en $x$ encontrar ese $x^2=-1$ o $x^2=4$, como otros lo han explicado.

Su primer enfoque está también muy bien, a pesar de que su elección de la sustitución no es. Se puede ver que $$y^2=x^2-3,$$ y el cuadrado de la segunda ecuación rendimientos $$4=x^2y^2=x^2(x^2-3)=x^4-3x^2,$$ que conducen a la misma ecuación de $x$ como su primer acercamiento.

Answer 5

Usted cometió un error durante el cálculo. Lo que debería haber hecho durante la sustitución es obtener el valor de $x=\frac2y$ a partir de la segunda ecuación y se sustituye $x$ con ese valor en la primera ecuación, que debería traducirse en

$$\left(\frac{2}{y}\right)^2 - y^2=3$ $ , que es una ecuación fácil de resolver.