La intuición detrás de la fórmula para la varianza de una suma de dos variables

Question

Sé que a partir de estudios anteriores que

$Var(A+B) = Var(A) + Var(B) + 2 Cov (A,B)$

Sin embargo, no entiendo por qué. Puedo ver que el efecto 'push up' de la varianza cuando a y B covarían altamente. Es lógico que cuando se crea un compuesto a partir de dos muy correlacionadas con las variables que tiende a ser la adición de la alta observaciones de Una con la alta observaciones de B, y la baja de las observaciones de Una con la baja observaciones de B. Esto se tienden tienden a crear extrema alta y baja de los valores en la composición variable, el aumento de la variación de la composición.

Pero ¿por qué se hace para multiplicar la covarianza por exactamente 2?

Answer 1

Respuesta Simple:

La variación consiste en un cuadrado: $$Var(X) = E[(X - E[X])^2]$$

Así, su pregunta se reduce a un factor de 2 en la plaza de identidad:

$$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$

Lo cual puede ser entendido visualmente como una descomposición del área de un cuadrado de lado a $(a+b)$ en el área de los cuadrados más pequeños de los lados $a$$b$, además de los dos rectángulos de lados $a$$b$:

Más involucrados respuesta:

Si quieres un matemáticamente más involucrados respuesta, la covarianza es una forma bilineal, es decir, es lineal, tanto en su primero y segundo de los argumentos, esto conduce a:

$$\begin{aligned} Var(A+B) &= Cov(A+B, A+B) \\ &= Cov(A, A+B) + Cov(B, A+B) \\ &= Cov(A,A) + Cov(A,B) + Cov(B,A) + Cov(B,B) \\ &= Var(A) + 2 Cov(A,B) + Var(B) \end{aligned}$$

En la última línea, he utilizado el hecho de que la covarianza es simétrica: $$Cov(A,B) = Cov(B,A)$$

Para resumir:

Es dos, ya que tiene en cuenta tanto $cov(A,B)$$cov(B,A)$.

Answer 2

El conjunto de variables aleatorias es un espacio vectorial, y muchas de las propiedades del espacio Euclidiano puede compararse a ellos. La desviación estándar actúa como una longitud, y la varianza como la longitud al cuadrado. La independencia corresponde a ser ortogonal, mientras que la correlación perfecta corresponde con la multiplicación escalar. Por lo tanto, la varianza de las variables independientes siga el Teorema de Pitágoras:
$var(A+B) = var(A)+var(B)$.

Si no están perfectamente correlacionados, entonces
$std(A+B) = std(A)+std(B)$

Tenga en cuenta que esto es equivalente a
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2\sqrt{var(A)var(B)}$

Si ellos no son independientes, entonces que siga una ley análoga a la ley de los cosenos:
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2cov(A,B)$

Tenga en cuenta que el caso general, es uno de entre una completa independencia y correlación perfecta. Si $A$ $B$ son independientes, entonces la $cov(A,B)$ es cero. Para el caso general es que el $var(A,B)$ siempre tiene un $var(A)$ plazo y un $var(B)$ plazo, y, luego, la variación en el $2\sqrt{var(A)var(B)}$ plazo; la más correlacionadas las variables, la más grande de este tercer término será. Y esto es precisamente lo $2cov(A,B)$: $2\sqrt{var(A)var(B)}$ veces $r^2$$A$$B$.

$var(A+B) = var(A)+var(B)+MeasureOfCorrelation*PerfectCorrelationTerm$

donde $MeasureOfCorrelation = r^2$ $PerfectCorrelationTerm=2\sqrt{var(A)var(B)}$

Puesto en otros términos, si $r = correl(A,B)$, luego

$\sigma_{A+B} = \sigma_A^2+\sigma_B^2+ 2(r\sigma_A)(r\sigma_B)$

Por lo tanto, $r^2$ es análoga a la $cos$ en la Ley de los Cosenos.

Answer 3

Me gustaría añadir que lo que has citado no es la definición de $Var(A+B)$, sino más bien una consecuencia de las definiciones de $Var$$Cov$. Así que la respuesta a por qué la ecuación tiene es el cálculo realizado por byouness. Tu pregunta puede realmente ser por eso que tiene sentido; de manera informal:

Cuánto $A+B$ "variar" depende de cuatro factores:

1. Cuánto $A$ variaría en su propio.
2. Cuánto $B$ variaría en su propio.
3. Cuánto $A$ variarán $B$ se mueve en torno a (o variable).
4. Cuánto $B$ variarán $A$ se mueve alrededor.

Lo que nos lleva a $$Var(A+B)=Var(A)+Var(B)+Cov(A,B)+Cov(B,A)$$ $$=Var(A)+Var(B)+2Cov(A,B)$$ debido a $Cov$ es un operador simétrico.