1. Definición de una matriz.
La cuestión de lo que una matriz es, precisamente, es uno de los tuve durante mucho tiempo como un estudiante de secundaria. Tomó varios intentos para conseguir una respuesta clara, porque la gente tiende a confundir "matrix" con "transformación lineal". Los dos están íntimamente relacionados, pero NO la misma cosa. Así que permítanme empezar con la completa definición rigurosa de una matriz:
Una $m$ $n$ matriz es una función de dos variables, la primera de las cuales tiene el dominio $\{1,2,\dots,m\}$ y el segundo de los cuales tiene el dominio $\{1,2,\dots,n\}$.
Esta es la definición formal de las matrices, pero no es la forma en que pensamos acerca de ellos. Tenemos una notación especial para matrices--la "caja de los números" usted está familiarizado con, donde el valor de la función en $(1,1)$ es colocado en la esquina superior izquierda, el valor en $(2,1)$ es colocado justo debajo de él, etc. Generalmente pensamos en la matriz como un cuadro, y se olvidan de que es una función. Sin embargo, a veces es necesario recordar que una matriz tiene una definición más formal, como cuando de la aplicación de matrices en un equipo (la mayoría de los lenguajes de programación tienen las matrices construidas en ellos).
2. Lo matrices representan.
Las Matrices pueden representar diferentes cosas en diferentes contextos, pero hay una aplicación que es la más común. La aplicación más común es de transformaciones lineales (un.k.una. lineal mapas), pero antes de entrar en eso, permítanme mencionar brevemente algunas otras aplicaciones:
- Las Matrices se pueden utilizar para almacenar datos. Por ejemplo, de imágenes en un ordenador a menudo se almacenan como una matriz, donde la matriz del valor en $(i,j)$ es la intensidad de la luz en la cámara de píxeles que es $i^{th}$ a partir de la parte superior e $j^{th}$ desde la izquierda.
- Las Matrices pueden ser utilizados como herramientas computacionales. Por ejemplo, uno para calcular los números de Fibonacci es a partir de las potencias de la matriz de
$$M = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{bmatrix}$$
Resulta que $(M^k)_{11}$ $k^{th}$ número Fibonacci.
- Las Matrices pueden ser utilizados para codificar alguna estructura matemática. Voy a ser una especie de mano-ondulado acerca de esto, pero un ejemplo de lo que tengo en mente es una matriz de adyacencia de un grafo o red, lo cual nos indica que los nodos están conectados a la que.
Así que el punto es que una matriz puede ser utilizada para muchas cosas. Sin embargo, uno de los usos prevalece como la mayoría de los comunes, y que se representan transformaciones lineales. La prevalencia de este uso, es por eso que la gente suele confundir los dos conceptos. Una transformación lineal es una función $f$ de los vectores que tiene las siguientes propiedades:
- $f(x+y) = f(x) + f(y)$ para cualquier vectores $x$$y$.
- $f(ax) = af(x)$ para cualquier vector $x$ y cualquier escalar $a$.
Estas propiedades son lo que se necesita para asegurarse de que la función $f$ "no tiene curvatura". Así es como una línea recta, pero, posiblemente, en las dimensiones superiores.
La relación entre matrices y transformaciones lineales viene del hecho de que una transformación lineal está completamente especificado por los valores que toma una base para su dominio. (Supongo que saben lo que es una base). Para ver cómo funciona esto, supongamos que tenemos una transformación lineal $f$ a que el dominio $V$ y el rango de $W$ donde $V$ es un espacio vectorial con base $v_1,v_2,\dots, v_n$ $W$ es un espacio vectorial con base $w_1,w_2,\dots,w_m$. Entonces existe una matriz $M$ en representación $f$ con respecto a estas bases, que tiene como elemento $(i,j)$ el coeficiente de $w_i$ al expresar $f(v_j)$ como una suma de la base de elementos en $W$.
La razón de que esto es una buena idea es que si usted tiene algunos misceláneos vector $x = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_n \in V$, entonces si usted representa a $x$ como un vector columna $[a_1,a_2,\dots,a_n]^T$ $f$ como su matriz $M$, entonces el valor de $f(x)$ está dado por la matriz producto de $M$$[a_1,a_2,\dots,a_n]^T$. Por lo que la matriz de $M$ completamente codifica la transformación lineal $f$, y la multiplicación de la matriz indica cómo decodificar, es decir, cómo utilizar la matriz para obtener los valores de $f$.
3. La intuición geométrica.
En mi opinión, el más importante teorema para llegar a la intuición para matrices y transformaciones lineales es la descomposición de valor singular teorema. Esto nos dice que cualquier transformación lineal puede ser escrito como una secuencia de tres transformaciones simples: una rotación, un estiramiento, y otro de rotación. Tenga en cuenta que la operación de estiramiento puede estirar por diferentes cantidades en diferentes direcciones ortogonales. Esto nos dice que todas las transformaciones lineales son una combinación de rotación y estiramiento.
Otras propiedades de las matrices a menudo tienen directa interpretación geométrica. Por ejemplo, el determinante indica cómo una transformación lineal de los cambios de los volúmenes. Por la descomposición de valor singular, una transformación lineal se convierte en un cubo en una especie de estirado y girar paralelogramo. El factor determinante es la relación entre el volumen de la resultante de paralelogramo para que de el cubo con el que comenzó.
No todas las propiedades de una matriz pueden ser fácilmente asociados con familiarizado conceptos geométricos, aunque. No sé de una buena imagen geométrica de la traza, por ejemplo. Eso no significa que la traza es menos útil o fácil de trabajar, aunque!
4. Otras propiedades.
Casi todas las "propiedades" y "operaciones" para matrices vienen de las propiedades de los lineales de los mapas y los teoremas acerca de ellos. Por ejemplo, el estándar de la multiplicación de matrices se ha diseñado específicamente para dar los valores de los lineales de los mapas, como se explicó anteriormente. Este NO es el único tipo de multiplicación que pueden ser definidos en las matrices, y en el hecho de que hay otros tipos de multiplicación de matrices (por ejemplo, el producto de Hadamard y el producto de Kronecker). Estos otros tipos de multiplicación son útiles a veces, pero generalmente no es tan útil como regular la multiplicación de la matriz, por lo que la gente a menudo no sabe (o atención) acerca de ellos.
5. TL;DR
La moraleja de la historia es que se puede utilizar matrices para lo que quieras (y que son, de hecho, se utiliza en muchas maneras diferentes), pero la forma en que la mayoría de la gente usa la mayoría del tiempo es la representación lineal de los mapas, y las definiciones estándar y "propiedades" de matrices reflejan esta tendencia. El estudio de la linealidad de los mapas va por el nombre de "álgebra lineal", y un libro de texto sobre este tema es un buen lugar para empezar si usted desea aprender más acerca de las matrices. (Dependiendo de su fondo, usted puede encontrar algunas buenas referencias de sugerencias aquí: enlace.)
