Cuando es la matriz $\text{diag}(\mathbf{x}) + \mathbf{1}$ invertible?

Question

Dado un vector $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^N$, vamos a definir:

$$\text{diag}(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} x_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & x_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & x_N \end{pmatrix}.$$

Por otra parte, vamos

$$\mathbf{1}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & 1 & \ldots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \ldots & 1 \end{pmatrix}.$$

Aquí está mi pregunta:

Cuando es la matriz $\mathbf{M} = \text{diag}(\mathbf{x}) + \mathbf{1}$ invertible?

Yo era capaz de encontrar algunos de los resultados de al $x_1 = x_2 = \ldots = x_N = x$. De hecho, la matriz $M$ es singular cuando:

1. $x=0$. Este es trivial desde $\mathbf{M} = \mathbf{1}$...
2. $x=-N$. En este caso, si la suma de todas las filas (o columnas) de la matriz $M$, se obtiene el vector cero.

¿Qué puedo decir en el caso general, cuando se $\text{diag}(\mathbf{x})$ es un vector genérico?

Answer 1

Podemos fácilmente calcular el determinante de la suma de $\operatorname{diag}(\mathbf{x}) + \mathbf{1}$ y verificación invertibility de esa manera,

Si todas las entradas de la diagonal $x_i$ son cero, podemos aplicar la matriz de determinante lema para un rango de una actualización a una matriz invertible:

$$ \det(A+uv^T) = (1 + v^T A^{-1} u) \det(A) $$

Al $A$ es la matriz $\operatorname{diag}(\mathbf{x})$ $u,v$ son vectores de todos, esto dice que la matriz suma es invertible, a menos que la suma de los recíprocos $x_i^{-1}$$-1$.

Si una de las entradas de la diagonal es igual a cero, decir $x_1$ sin pérdida de generalidad, entonces elementales de fila operaciones rápidamente demostrar que el determinante de a$\operatorname{diag}(\mathbf{x}) + \mathbf{1}$$\prod_{k=2}^n x_k$.

Answer 2

creo que su matriz se nonsingular iff $$1 +\frac 1{x_1}+\frac 1{x_2}+ \ldots + \frac 1{x_n} \ne 0$$

voy a mirar en el caso de $n = 4$ tendrá en cuenta la matriz de $A = D + jj^\top$ donde $D$ es la matriz diagonal con entradas de $d_1, d_2, d_3$ $d_4, j = (1,1,1,1)^\top.$

supongamos $\lambda, x$ es un autovalor-vector propio par. entonces tenemos $$d_1x_1 + x_1 + x_2+ x_3 + x_4 = \lambda x_1, \ldots, x_1+x_2+x_3+x_4 + d_4x_4=\lambda x_4 $$ solving for $x_1$ nos encontramos con que $$x_1= \frac 1{(\lambda - d_1)}(x_1+x_2+x_3+x_4), \ldots x_4= \frac 1{(\lambda - d_4)}\left(x_1+x_2+x_3+x_4\right)\tag 1 $$ adding the four equations in (1), you find that the characteristic equation of $$ es $$1 = \frac 1{(\lambda-d_1)}+\frac 1{(\lambda-d_2)}+\frac 1{(\lambda-d_3)}+\frac 1{(\lambda-d_4)} $$

por lo tanto, la matriz de $D + jj^\top$ es singular iff $$ \frac 1d_1 + \frac 1d_2 + \frac 1d_3 + \frac 1d_4 + 1 \ne 0. $$