Potencial del pseudo bosón de Nambu-Goldstone

Question

Los pseudo bosones Nambu-Goldstone aparecen en la ruptura de simetrías aproximadas, por ejemplo, los axiones QCD. Muchas literaturas se limitan a escribir la acción de esos pseudobásones sin ninguna explicación.

En general, ¿cómo se obtiene la acción efectiva, especialmente el potencial, de estos bosones Pseudo Nambu-Goldstone?

Answer 1

La forma más fácil, creo, es utilizando el análisis spurion. Si un operador $\mathcal{O}$ con un pequeño acoplamiento $g$ en el lagrangiano rompe una simetría, basta con promover $g$ a un campo (llamado espurión) con propiedades de transformación definidas tales que $g\mathcal{O}$ es ahora invariante. La acción efectiva de baja energía ahora debe escribirse haciendo una expansión en $g$ escribiendo todas las invariantes en cualquier orden, y finalmente congelar $g$ a su valor original.

Permítanme darles el ejemplo de quiral $SU(2)$ en QCD. En esta teoría existe una $G=SU(2)_L\times SU(2)_R$ simetría de la teoría UV para quarks up y down $$ Q_{L}=\left(\begin{array}{c}u_L\\ d_L \end{array}\right)\rightarrow U_L Q_{L}\,,\quad Q_{R}=\left(\begin{array}{c}u_R\\ d_R \end{array}\right)\rightarrow U_R Q_{R} $$ donde $U_{L,R}$ son unitarios $2\times 2$ matrices de $SU(2)_{L,R}$ . En el IR, la simetría se rompe espontáneamente hasta un subgrupo $H=SU(2)_{L+R}$ isospin de modo que 3 piones sin masa $\pi^a$ están presentes en el espectro de baja energía según el teorema de Goldstone. Estos piones pueden escribirse en un modelo sigma no lineal como $\Sigma(x)=e^{i\pi^a(x) \sigma^a/f_\pi}$ donde $\Sigma\rightarrow U_L \Sigma U^\dagger_R$ realizar de forma no lineal $G$ sino realizar linealmente $H$ (donde $U_L=U_R$ ). El lagrangiano de orden más bajo invariante bajo $G$ es de la forma esquemática $$ \mathcal{L}^{(2)}_{eff}=\frac{f_\pi^2}{4}\mathrm{Tr}\left[\partial_\mu\Sigma^\dagger \partial^\mu\Sigma\right]. $$ Ahora, añadimos una pequeña ruptura explícita de $G$ en el UV, a saber, un término de masa $m_u \bar{u}_L u_{r}+m_d \bar{d}_L d_{r}+h.c.$ que podemos escribir como $$ \bar{Q}_{L}M Q_{R}+h.c.\,,\qquad M=\left(\begin{array}{cc} m_u & 0 \\ 0 & m_d\end{array}\right)\,. $$ De hecho, este término masivo ni siquiera respeta $H$ (a menos que $m_u\neq m_d$ ) y no sólo los piones adquirirán masa, sino que también se dividirán. En cualquier caso, la lagrangiana UV puede considerarse invariante bajo $G$ si promovemos $M$ a un espolón y transformarlo como $M\rightarrow U_L M U^\dagger_{R}$ . Ahora, yendo al IR y mirando la teoría efectiva de los piones, podemos escribir nuevos invariantes en la acción para $\pi$ . Los más importantes son los que tienen menos inserciones de $M$ ya que suponemos que la ruptura explícita es pequeña (en este caso, comparada con $\Lambda_{QCD}$ ). Sólo hay un operador con una única inserción de $M$ a saber $$ \delta\mathcal{L}=c\mathrm{Tr}\left[\Sigma^\dagger M+\Sigma M\right]\,. $$ Ahora se puede congelar $M$ a $M=\mathrm{diag}\left(m_u,m_d\right)$ Ampliar $\delta\mathcal{L}$ en potencias de los campos pión, y así obtener la forma del potencial (en particular los términos de masa) en orden principal en el parámetro de ruptura explícito $M$ . Para simplificar, supongamos ahora que la ruptura explícita de $G$ respeta $H$ , $m_u=m_d\equiv m$ de modo que $M=m\mathbf{1}$ es múltiplo de la identidad. En este caso, $\delta\mathcal{L}$ puede escribirse de forma agradable $$ \delta\mathcal{L}=c\,m\mathrm{Tr}\left[\Sigma^\dagger+\Sigma\right]=4c\, m\cos\frac{|\pi|}{f_\pi} $$ donde usamos que $e^{i\pi^a\sigma^a/f_\pi}=\left(cos\frac{|\pi|}{f_\pi}\mathbf{1}+i\frac{\pi^a\sigma^a}{|\pi|}\sin\frac{|\pi|}{f_\pi}\right)$ .

De la misma discusión, pero elevado a quiral $SU(3)$ se puede obtener la fórmula de masa de Gellman Okubo para los piones.