Valor determinante de $2 \times 2$ matrices

Question

Deje $a,b,c,d$ ser números enteros tales que $\dfrac ac \in \mathbb Q^+$\ $\mathbb Z^+$ y $\dfrac bd \in \mathbb Q^-$ \ $\mathbb Z^-$ ; entonces, ¿cuántas soluciones no $|ad-bc|=1$?

Answer 1

Los requisitos en $a/c$ $b/d$ prohibir todo tipo de $a, b, c, d$ cero.

Asumiendo $ad - bc = \pm 1$

i) Suponiendo que el mayor $a > 0$ $b > 0$ $c > 0$ mantener $a/c$ positiva, entonces $$d = (\pm 1 + bc)/un$$ y debido a que $bc \ge 1$ no hay manera de tener $d < 0$ como es requerido por la negativa $b/d$.

ii) Suponiendo que el mayor $a > 0$ $b < 0$ $c > 0$ mantener $a/c$ positivo y hemos $$d = (\pm 1 - |b| c) /a$$ que no puede ser positivo para un entero $b$, $c$ (tenemos $|b|c \ge 1$)

iii) Suponiendo que el mayor $a < 0$ $b > 0$ $c < 0$ mantener $a/c$ positiva, entonces $$d = (\pm 1 - b|c|)/a$$ y necesitamos $\pm 1 - b|c| > 0$ tener un efecto negativo $d$. Como $b|c| \ge 1$ esto no será posible.

iv) Suponiendo que el mayor $a < 0$ $b < 0$ $c < 0$ mantener $a/c$ positivo y hemos $$d = (\pm 1 + |b| |c|) /a$$ que necesitamos positivo para mantener el $b/d$ negativo, lo cual no es posible con la negativa $a$.

Así que en caso de que me perdí ningún caso no hay ningún caso de una solución.

Answer 2

El determinante $|ad-bc|$ representa el área del paralelogramo con vértices: $$(0,0),\ (a,c),\ (a+b,c+d),\ (b,d).$$ Sin pérdida de generalidad se puede supppose $a>0$ (de lo contrario el cambio de signo a todos los números) y, por tanto,$c>0$. También usted puede suponer $b<0$ (de lo contrario swap $b$$d$$a$$c$) y, por tanto,$d>0$. Así $a\ge 1$, $c\ge 1$, $b\le 1$ y $d\ge 1$ significa que el punto con coordenadas $(0,1)$ es un punto interno del paralelogramo. De modo que haya al menos un punto interno y 4 vértices los puntos con coordenadas enteras, por lo tanto, de Elegir el teorema de la zona es, al menos,$1+4/2-1=2$. Esto significa: no hay solución.

edit. En realidad a mí me parece que el determinante es $\ge 4$.