Alguna pregunta acerca de simpléctica transformación

Question

He leído de Arnold libro de Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica y venir a través de tres problemas en la página 229.

1.Deje $\lambda$ $\bar{\lambda}$ ser simple (multiplicidad 1) los autovalores de una simpléctica de transformación de $S$$|\lambda|=1$. Mostrar que las dos dimensiones invariante avión $\pi_\lambda$ correspondiente a $\lambda,\bar{\lambda}$ es distinto de null.

2.Deje $\xi$ ser un verdadero vector de avión $\pi_\lambda$ donde$Im~\lambda > 0$$|\lambda| = 1$. El autovalor $\lambda$ se llama positiva si $[S\xi,\xi] > 0$. Demostrar que esta definición no depende de la elección de $\xi \neq 0$ en el avión $\pi_\lambda$.

3.Mostrar que $S$ es estable si y sólo si todos los autovalores $\lambda$ mentira sobre el círculo unidad y son de señal definitiva.

En mi opinión, va a ser difícil lidiar con estas preguntas con el conocimiento de este libro.

Answer 1

1.Desde $[,]$ es no degenerada, no debería ser un autovector $\eta$ correspondiente al autovalor $\lambda'$ para el autovector $\xi$ correspondiente al autovalor $\lambda$ que $[\xi, \eta] \neq 0$, que sólo es posible si $\lambda' = \bar{\lambda}$. Por lo tanto, las dos dimensiones invariante avión $\pi_\lambda$ es distinto de null.

2.Desde $\xi$ es un verdadero vector, no es un número $a$ tal que $\xi = a\xi_1 + \bar{a}\xi_1$ donde $\xi_1$ es el vector propio con el autovalor $\lambda$. Entonces
$$[S(a\xi_1 + \bar{un}\bar{\xi}_1), un\xi_1 + \bar{un}\bar{\xi}_1] = (\lambda \bar{\lambda}) |a|^2 [\xi_1, \bar{\xi}_1] = (2|a|^2 Im \lambda) i(I\xi_1, \xi_1),$$ el signo de que es independiente de la $a$, es decir, independientes de $\xi$. Tenga en cuenta que $i(I\xi_1, \xi_1)$ es un número real.

3.Denotar $(G\xi,\xi) = i(I\xi_1, \xi_1)$, y denotan $S$$M$. Suponga $M$ es estable y todos sus autovalores son Krein-definido. Si $M$ no es muy estable, no sería $\{M_n\}$ de inestable simpléctica matrices de la convergencia a la $M$. Cualquiera de las $M_n$ ha autovalor fuera del círculo unidad, o $M_n$ tiene un autovalor en el círculo unidad que no es semi-simple. Por lo tanto, hay un $G$-isotrópica unidad autovector $x_n$: $$M_n x_n = \lambda_n x_n,~(Gx_n, x_n) = 0.$$ Desde $\lambda_n$ es una raíz de $|M_n - z I|$, podemos extraer a partir de la secuencia $\lambda_n$ una larga convergen a la raíz de la $M - zI$, es decir,$x_n \rightarrow x, \lambda_n \rightarrow \lambda$. A continuación, $(Gx,x) = 0$ lo cual es imposible, ya que todos los autovalores de a $M$ es Krein-definido.

Por el contrario, asumen $M$ es fuertemente estable. A continuación, todos los autovalores de a $M$ mienten en el círculo y son semi-simple. Para cada autovalor $\lambda$ con un resultado positivo de la parte imaginaria, podemos elegir en el autoespacio $Ker(M-\lambda I)$ $G$- base ortogonal, decir $[\xi_1, \cdots, \xi_m]$$(G\xi_k,\xi_k) = \pm 1$. Podemos tomar $[\bar{\xi_1},\cdots,\bar{\xi_m}]$ como base para el conjugado autoespacio $Ker(M-\bar{\lambda} I)$. Si $\pm 1$ es un autovalor, el correspondiente espacio propio es real e incluso dimensiones, podemos elegir su $G$-base ortogonal a ser$[\xi_1,\cdots,\xi_m,\bar{\xi_1},\cdots,\bar{\xi_m}]$$(G\xi_k,\xi_k)=1=-(G\bar{\xi}_k,\bar{\xi}_k)$. Poner todo junto, podemos obtener un $G$-orthonogonal base de vectores propios de a$[\xi_1,\cdots,\xi_n,\bar{\xi}_1,\cdots,\bar{\xi}_n]$$C^{2n}$. Tenemos $(G\xi_k,\xi_k)=-(G\bar{\xi}_k,\bar{\xi}_k)$, y la reorganización de la base, podemos asumir que $(G\xi_k,\xi_k)=1$$1 \leq k \leq n$.

Asumir que existe un autovalor $\lambda$ que no está definido. Debe tener dos vectores propios con opssite $G$-normas, decir $\xi_1$ $\bar{\xi}_1$ si $\lambda = \pm 1$, e $\xi_1, \xi_2$ si $\lambda \neq \pm 1$. Definir una transformación lineal $M_\tau$ estableciendo : $$M_\tau \xi_1 = \lambda(\xi_1 cosh\tau + \bar{\xi}_1 sinh\tau), M_\tau \bar{\xi}_1 = \lambda(\xi_1 sinh\tau + \bar{\xi}_1 cosh\tau),$$ si $\lambda = \pm 1$, y $$M_\tau \xi_1 = \lambda(\xi_1 cosh\tau + \xi_2 sinh\tau), M_\tau \xi_2= \lambda(\xi_1 sinh\tau + \xi_2 cosh\tau),$$ si $\lambda \neq \pm 1$, e $M_\tau = M$ sobre el invariante en el subespacio generado por los otros $\xi_k$.

Por construcción, $M_\tau$ es real (es decir,$M_\tau R^{2n} \subset R^{2n}$), y simpléctica como podemos fácilmente comprobar. Por otro lado $\xi_1 + \bar{\xi}_1$ (si $\lambda = \pm 1$) o $\xi_1 + \xi_2$ (si $\lambda \neq \pm 1$) es un autovector de a $M_\tau$ con el autovalor $\lambda e^\tau$, que está fuera del círculo unidad si $\tau > 0$. Por lo $M_\tau$ no es estable, y $M_\tau \rightarrow M$ al $\tau \rightarrow 0$. Esto contradice el hecho de que $M$ es fuertemente estable.

Ref:

1. Arnold 'métodos Matemáticos de la mecánica clásica' de la sección 42.
2. Ivar Ekeland 'Convexidad métodos en Hamiltoniana de la mecánica en el capítulo 1.