Pentation Notación - ¿Cómo funciona?

Question

Cuando se va a través con el aprendizaje Grahams número, me quedé atrapado en

$$3↑↑↑3$$

De trabajo a través de, tenemos

$$3↑3=3^3$$ $$3↑↑3=3^{3^3}=3↑(3↑3)$$

Como tal, me parece que

$$3↑↑↑3=3^{3^{3^3}}=3↑(3↑(3↑3))=3↑(3↑↑)$$

Lo cual es incorrecto; la respuesta correcta es

$$3↑↑↑3=3↑↑(3↑↑3)$$

Lo que estoy queriendo saber es donde el error en la manera en la que he trabajado, y cómo el trabajo $3↑↑(3↑↑3)$ a través atrás a $3↑↑↑3$ sería?

Answer 1

Usted desea entender Graham número a través de estas flechas? Si es así, te sugiero que dar un paso atrás hacia la multiplicación y la construcción de la forma.

Tenga en cuenta que

$$a\times b=\underbrace{a+(a+(\dots+a))}_b$$

Por ejemplo,

$$3\times3=3+(3+3)=3+6=9$$

Y, a continuación, exponenciación,

$$a^b=a\uparrow b=\underbrace{a\times(a\times(\dots\times a))}_b$$

Por ejemplo,

$$3\uparrow3=3\times(3\times3)=3\times9=27$$

Ahora tetration,

$$a\uparrow\uparrow b=\underbrace{a\uparrow(a\uparrow(\dots\uparrow a))}_b$$

Por ejemplo,

$$3\uparrow\uparrow 3=3\uparrow(3\uparrow3)=3\uparrow27=7625597484987$$

Y más allá...

$$a\uparrow\uparrow\uparrow b=\underbrace{a\uparrow\uparrow(a\uparrow\uparrow(\dots\uparrow\uparrow a))}_b$$

$$3\uparrow\uparrow\uparrow3=3\uparrow\uparrow(3\uparrow\uparrow3)=3\uparrow\uparrow7625597484987=\underbrace{3\uparrow(3\uparrow(\dots\uparrow3))}_{7625597484987}=3^{3^{3^{3^{\dots}}}}$$

Answer 2

$$3 \uparrow \uparrow n = 3 \uparrow (3 \uparrow \uparrow (n-1))$$ $$3 \uparrow \uparrow \uparrow n = 3 \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow \uparrow (n-1))$$ $$3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n = 3 \uparrow \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow (n-1)) ....$$

Por definición $$3 \uparrow^{n} 0 =1\;\;\;\; 3 \uparrow 1 = 3$$ Uno puede demostrar por inducción: $$3 \uparrow^{n} 1 =3$$ $$3 \uparrow^{n} 2 = 3 \uparrow^{(n-1)} 3$$ $$3 \uparrow \uparrow 3 = 3 \uparrow {3^3} = 3^{3^3} = 3^{27} = 7625597484987$$ Por lo tanto $$3 \uparrow \uparrow \uparrow 3 = 3 \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow \uparrow 2)= 3 \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow 3) = 3 \uparrow \uparrow 7625597484987$$ $$3 \uparrow \uparrow \uparrow 3 = 3^{3^{3^{3...}}}\;\;\; \text{tower height} = 3 \uparrow \uparrow 3 = 7625597484987$$ $$3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3 = 3 \uparrow \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow \uparrow 3)$$ $$^{^{^{...3}3}3}3\;\;\; \text{tower height} = 3 \uparrow \uparrow 7625597484987$$