Polinomios inseparables e irreducibles

Question

Los ejemplos estándar de polinomios irreducibles e inseparables que uno encuentra en un curso introductorio sobre teoría de campos parecen tener todos una única raíz en un cierre algebraico. ¿Existen ejemplos elementales de polinomios inseparables e irreducibles con múltiples raíces diferentes (al menos una de las cuales se repite)? Equivalentemente, ¿puede una extensión de campo contener elementos que sean inseparables, pero cuyos polinomios mínimos tengan más de una raíz distinta?

Answer 1

Sea $p \in \mathbb N$ ser primo, $q \in \mathbb N$ coprimo a $p$ y que $F = \mathbb F_p(t)$ el campo de las funciones racionales de $t$ con coeficientes en $\mathbb F_p$ . Considere $$f(x) = x^{pq} - t.$$ EDITAR : Por el criterio de Eisenstein, $x^{pq} - t$ es irreducible sobre $\mathbb F_p[t]$ (porque $t$ es un primo). Por el lema de Gauss, también es irreducible sobre el campo de fracciones, que es $\mathbb F_p(t)$ . Gracias a Sam L. por esta parte de mi argumento.

Dado que la derivada de $f$ es cero en $\mathbb F_p(t)[x]$ el polinomio es inseparable. Pero el polinomio $x^q - 1$ es separable en $\mathbb F_p(t)[x]$ porque su derivada es $qx^{q-1}$ que no tiene raíces comunes con $x^q - 1$ de modo que las raíces de $x^q - 1$ son distintos. Dejando que $\sqrt[pq]t$ sea una raíz de $x^{pq} - t$ et $w$ a $q^{th}$ raíz de la unidad. Entonces las raíces distintas de $f$ son $w^i (\sqrt[pq]t)$ con $i$ que van desde $0$ a $q-1$ cada uno con multiplicidad $p$ .

Espero que le sirva de ayuda,

Answer 2

EDIT: Las discusiones en los comentarios me han convencido para añadir un poco de introducción a mi ejemplo, de la siguiente manera: cualquier extensión separable de una extensión inseparable debe proporcionar un ejemplo, así que aquí está una extensión separable muy simple de una extensión inseparable muy simple:

L $F={\bf F}_3(t)$ , dejemos que $E=F(t^{1/3})$ , dejemos que $K=E(\sqrt2)$ . Nota $[K:F]=[K:E][E:F]=2\times3=6$ . Demuestre que $K=F(t^{1/3}+\sqrt2)$ demostrando que ese elemento no es de grado 2 ó 3. Luego demuestra que ese elemento es el que estás buscando.

Answer 3

Considere $$(X-a)^p(X-b)^p\in\mathbb F_p(a^p+b^p,a^pb^p)[X],$$ donde $a,b,X$ son indeterminados.

EDITAR. Una generalización: Sea $q$ es una potencia de un primo, y $a_1,\dots,a_n$ sean indeterminados, ponga $$f:=(X-a_1)^{q^k}\cdots(X-a_n)^{q^k}\in\mathbb F_q[a_1,\dots,a_n,X],$$ escriba a $K$ para la ampliación de $\mathbb F_q$ generado por los coeficientes de $f$ .

Entonces $f$ es irreducible en $K[X]$ y cualquier ejemplo será una especialización de éste.