Dejemos que $D \subset \mathbb C^n$ sea un dominio y que $f \in \mathscr O(D)$ , $f \not\equiv 0$ sea una función holomorfa. Definir $$ V_f = \bigl\{ z \in D : f(z) = 0 \bigr\}. $$ Dejemos que $p \in V_f$ . Supongamos que $f$ es irreducible en el anillo de gérmenes $\mathscr O_p$ . ¿Es cierto que existe un barrio $U$ de punto $p$ tal que $f$ es irreducible en $\mathscr O_q$ para todos $q \in V_f \cap U$ ? Tal vez debería utilizar de alguna manera la propiedad de que si dos funciones en $\mathscr O_p$ son relativamente primos entonces serán relativamente primos en $\mathscr O_q$ para $q$ cerca de $p$ ?
Actualización. Si $f$ es reducible en $\mathscr O_q$ entonces $f = f_1 f_2$ en un barrio de $q$ con $f_1(q)=f_2(q)=0$ . Esto implica que $f(q)=0$ y $\frac{\partial f(q)}{\partial z_k}=0$ , $k=1$ , $\dots$ , $n$ . Si en el punto $p$ algunos $\frac{\partial f(p)}{\partial z_k} \neq 0$ entonces la afirmación es verdadera.
Actualización 2. Supongamos que $f$ divide todo $\frac{\partial f}{\partial z_k}$ en $\mathscr O_p$ para que tengamos $$ \frac{\partial f}{\partial z_k} = fh_k, \quad k =1,\ldots,n, $$ en un barrio de $p$ con holomorfo $h_k$ , $h_k(0) = 0$ . Diferenciando estas igualdades obtenemos $$ \frac{\partial^2 f}{\partial z_k \partial z_l} = \frac{\partial f}{\partial z_l} h_k + f \frac{\partial h_k}{\partial z_l}, $$ esto implica $\frac{\partial^2 f(p)}{\partial z_k z_l} = 0$ para todos $k$ , $l$ . Podemos continuar este proceso mostrando que todas las derivadas de $f$ en $p$ son iguales a cero por lo que $f \equiv 0$ .
El único caso restante en el que la declaración puede ser falsa es cuando todos los $\frac{\partial f}{\partial z_k}(p)=0$ y $f$ no divide a algunos $\frac{\partial f}{\partial z_k}$ en $\mathscr O_p$ .
