Topología euclidiana sobre $\mathbb{R}^{m+n}$ es equivalente al producto de la topología en $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$

Question

Estoy tratando de enseñar a mí mismo topología de la escuela de graduados de este verano, pero estoy teniendo un momento difícil. Estoy tratando de demostrar que la topología Euclidiana sobre $\mathbb{R}^{m+n}$ es equivalente al producto de la topología en $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$. Me doy cuenta de que para hacer esto que debo hacer una homeomorphism entre ellos, y la identidad de la función de trabajo para esto, pero estoy seguro de qué hacer a partir de ahí.

He aquí lo que tengo hasta ahora: Deje $x \in U \subseteq \mathbb{R}^{m+n}$ ser algún conjunto abierto en $\mathbb{R}^{m+n}$, entonces existe una bola abierta $B_{\epsilon}(x) \subseteq U$. Pero no estoy seguro de dónde ir de allí.

He leído este Producto y topología de la norma euclidiana de la topología de más de $\mathbb{R}^n$ son equivalentes , pero no entiendo por qué se le permite asumir que cada uno de los subconjuntos en $B^1_{\epsilon}(x_i)$ están abiertas en $\mathbb{R}$. gracias

Answer 1

Sugerencia Supongamos $\lVert \cdot \rVert_1$ $\lVert \cdot \rVert_2$ es la distancia Euclídea normas en $\Bbb R^n,\Bbb R^m$ respectivamente. A continuación, $\lVert (x,y)\rVert = (\lVert x\rVert_1^2+\lVert y\rVert_2^2)^{1/2}$ es la norma Euclídea en $\Bbb R^n\times\Bbb R^m$.

Answer 2

Sólo uso $f:\Bbb R^m \times \Bbb R^n \to \Bbb R^{m+n}$. $((x_1,...,x_m),(x_{m+1},...,x_{m+n}))\to (x_1,...,x_{m+n})$ Ahora a ver que es bijective y continua. En realidad es algún tipo de función identidad. [Como usted tiene un problema, hay algunas cosas que usted debe aclarar, 1) Eucledean topología es la misma que la topología métrica, aquí la norma euclídea es la métrica,$d(x,y)=||x-y||$ (ver!!) 2) Para finito de productos, el cuadro de la topología de la misma como producto de la topología. No sé si te encuentras con el término cuadro de topología o no, pero invitamos a hacer su concepción clara en estos casos]