Un incontable y cerrado subconjunto de los Números de Liouville

Question

Estoy tratando de "encontrar" un cerrado e incontables subconjunto de los números de Liouville.

$x\in L$ significa que para todos los $n\in \mathbb{N}$ existe $p,q\in \mathbb{Z}$ $q>1$ tal que $$0<\vert x-\frac{p}{q}\vert <\frac{1}{q^n}.$$

Las Ideas son bienvenidas!!

Answer 1

Creo que el siguiente conjunto debería funcionar:

$$A = \left\{ \sum_{n=1}^\infty \epsilon_n 2^{-n!} : \epsilon_n \in \{0,1\} \text{ and } \epsilon_{2n-1} + \epsilon_{2n} = 1\right\}.$$

La restricción adicional de que la secuencia de $\epsilon_n$s consta de $(0,1)$ $(1,0)$ pares asegura que cada elemento de a $A$ es de Liouville. Además creo que cada secuencia convergente en $A$ ha $\epsilon_n$ eventualmente constante, lo que significa que el punto límite también satisface la definición de la propiedad de $A$.