Límite de la fracción de números de $\le n$

Question

Para un conjunto $E \subseteq \mathbb{N}$, se definió $r_n(E):=\left |{E \cap[n]}\right |$ donde $[n]:=\left\{{1,2,...,n}\right\}$. Necesito encontrar un conjunto de $E^* \subseteq \mathbb{N}$ que $\nexists \lim_{n \to \infty} \frac{r_n(E^*)}{n}$. He probado con algún conjunto formado por uniones, intersecciones y complementos entre los conjuntos de múltiplos de diferentes números primos, pero no pude encontrar este conjunto.

Answer 1

En la construcción de un conjunto de $E$, una idea útil es tener el set $E$ contienen arbitrariamente largas secuencias de enteros consecutivos y, a continuación, la "señorita" arbitrariamente largas secuencias así. Si se hace correctamente, esto garantizará que la relación $\frac{r_n(E)}{n}$ no tiene un límite.

Un ejemplo concreto es el conjunto de $E$ de todos los enteros positivos cuya expansión decimal comienza con un $1$. Es decir, $$E=\bigcup_{m=0}^{\infty}\{10^m,10^m+1,\dots,2\cdot 10^m-1\}$$ Se puede demostrar en este caso que $$\limsup_{n\to\infty}\frac{r_n(E)}{n}=\frac{5}{9}$$ mientras $$\liminf_{n\to\infty}\frac{r_n(E)}{n}=\frac{1}{9}$$