¿Por qué sabemos que $\left\{\lvert X_n-X\rvert >\epsilon\right\}$ es un evento?

Question

Espero que mi pregunta no es demasiado estúpido.

Por definición, una secuencia $(X_n)$ de variables aleatorias converge en probabilidad hacia la variable aleatoria $X$ si para todas las $\epsilon >0$ hemos $$ P(\lvert X_n-X\rvert >\epsilon)\0\text{ como }n\to\infty. $$

Mi pregunta: ¿por Qué sabemos que el conjunto de $\left\{\lvert X_n-X\rvert > \epsilon\right\}$ es un evento, es decir, que podemos darle una probabilidad?

Answer 1

Desde $X_n$ $X$ son tanto medibles (que son variables aleatorias, después de todo) y la función de $f(x,y) = \lvert x-y \rvert$ preserva la mensurabilidad (debido a su continuidad), $\lvert X_n - X \rvert$ es medible así.

Tal vez es mejor para su comprensión si me argumentan de la siguiente manera. Si $X_n$ $X$ son medibles, entonces también lo es $X_n - X$. Este es un resultado estándar en la teoría de la medida. A continuación, $\{ \lvert X_n - X \rvert > \varepsilon \} = \{ X_n - X > \varepsilon \} \cup \{ X_n - X < -\varepsilon \}$. Ambos elementos en el lado derecho de la mentira en la $\sigma$-álgebra definida como parte de la probabilidad de espacio en el que se $X_n$ $X$ vivir. Vamos a llamar a esta $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}$. Sabes a partir de la definición de una $\sigma$-álgebra que el contable de la unión mantiene dentro de la $\sigma$-álgebra. Entonces, la mano izquierda debe estar en $\mathcal{F}$, es decir, se trata de un evento.