Mostrar que $\gcd(a,b)>1$

Question

Dado son tres números naturales $a$, $b$ y $c$, por lo que

$$\frac1a+\frac1b=\frac1c,$$

mostrar que $\gcd(a,b)>1$.

Podría alguien proporcionar una sugerencia?

Ya lo he intentado manipulación algebraica, pero simplemente no puedo encontrar una manera de demostrarlo...

Answer 1

Tenemos $$ \frac{1}{c}=\frac{a+b}{ab}. $$ Como $c=\dfrac{ab}{a+b}$, $a+b>1$ es un divisor de a $ab$, y por lo tanto no es un divisor primo $p$, de tal manera que $$ p\mediados de los a+b \quad\text{y, por tanto,}\quad p\mid ab. $$ Ahora, si $p \,\big|\,ab$, $p\mid a$ o $p\mid b$. Suponga que $p\mid a$. (El caso de $p\mid b$ es tratado en la misma forma.) Pero como $$ p\mid \quad \&\quad p\mediados de los a+b, $$ a continuación,$p\mid b$. Por lo tanto, $\,p\,\mid\, $mcd$(a,b)$, y, por tanto, $\,\,$mcd$(a,b)>1$.

Answer 2

Supongamos que al contrario que $\gcd(a,b)=1$. Compensación fracciones da $bc+ac=ab$. Tenemos $ac=ab-bc$, lo $b|ac$. Desde $\gcd(a,b)=1$,$b|c$. Por lo $b\le c$. Pero si usted piensa acerca de la ecuación de $\frac1a+\frac1b=\frac1c$, para los números naturales $a,b,c$, se puede concluir que $c$ debe ser el más pequeño de $a,b,c$.

Answer 3

Tenemos $c<a$$c<b$. Esto es debido a que $\frac{1}{a}<\frac{1}{c}$ (de manera similar, $\frac{1}{b}<\frac{1}{c}$). La simplificación de la expresión dada, también tenemos $$c(a+b)=ab$$

Si $\gcd(a,b)=1$, $a$ $b$ no se dividen $c(a+b)$. ¿Por qué es eso? ¿Qué se puede concluir de esto?

Answer 4

Esto es debido a que la fórmula se parece a esto. Para la ecuación: $$\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}=\frac{1}{A}$$

Usted puede escribir una simple solución si el número en la descomposición de los factores de la siguiente manera:
$$A=(k-t)(k+t)$$

entonces: $$X=2k(k+t)$$ $$Y=2k(k-t)$$ or: $$X=2t(k-t)$$ $$Y=-2t(k+t)$$

Answer 5

Esta no es una respuesta para su pregunta. Pero se puede utilizar para obtener una respuesta.
Para cualquier entero positivo $p,$ paramétrico de la solución de la ecuación de Diophantine $$\frac{1}{p}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$$ puede ser escrito en la forma $x=ac(a+b),y=bc(a+b),$ donde $p=abc.$

Prueba
Vamos $$\frac{1}{p}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y} ,x,y∈Z^+.$$
A continuación, $x+y=t$ $xy=pt$ algunos $t∈Z^+.$
Ahora la ecuación de segundo grado $$z^2-tz+pt=0$$ has two integer roots $x,y.$
Discriminante de esta ecuación puede ser escrita como $$Δ_(x,y)=t^2-4pt=q^2, q∈Z^+.$$
La ecuación cuadrática $$t^2-4pt-q^2=0$$ gives the value of $t.$
$$Δ_t=16p^2+4q^2=4r^2,r∈Z^+.$$
$$4p^2+q^2=r^2,r∈Z^+.$$
Esta ecuación es de la forma de la ecuación de Pitágoras.
Por lo tanto, $p=abc,q=(a^2-b^2 )c$ $r=(a^2+b^2 )c$ donde $a,b,c$ son parámetros.
Atrás sustitución da ese $t=(a+b)^2 c.$
Por lo tanto, podemos obtener que
$$x=ac(a+b),y=bc(a+b).$$