Estoy trabajando en un par de preguntas, y tenía la esperanza de obtener alguna información acerca de si o no mis respuestas tienen sentido.
(a) Deje $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in \mathbb{R}^d$. Si $||\mathbf{x}||<2$, $||\mathbf{y}||<3$ y $||\mathbf{z}||<4$, muestran que $$| \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} - \mathbf{x} \cdot \mathbf{z}| < 14.$$
Observar que $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}=|| \mathbf{x} |||| \mathbf{y}|| cos (\theta)$ donde $\theta $ es el ángulo entre el$\mathbf{x}$$\mathbf{y}$, e $\mathbf{x} \cdot \mathbf{z}=|| \mathbf{x} |||| \mathbf{z}|| cos (\alpha)$ donde $\alpha $ es el ángulo entre el$\mathbf{x}$$\mathbf{z}$. Entonces tenemos
$$\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} - \mathbf{x} \cdot \mathbf{z} = || \mathbf{x} |||| \mathbf{y}|| cos (\theta) - || \mathbf{x} |||| \mathbf{z}|| cos (\alpha).$$
La función de $cos(x)$ oscila entre los $-1$$1$. Ahora, yo creo que los valores extremos de la expresión anterior se $-14$$14$. Tenga en cuenta que$|| \mathbf{x} |||| \mathbf{y}||<6$$|| \mathbf{x} |||| \mathbf{z}|| < 8$. Además, $ -1 \leq cos(\theta) \leq 1$$ -1 \leq cos(\alpha) \leq 1$. Si $cos(\theta)=1$, e $cos(\alpha)=-1$, luego
$$|| \mathbf{x} |||| \mathbf{y}|| cos (\theta) - || \mathbf{x} |||| \mathbf{z}|| cos (\alpha) = || \mathbf{x} |||| \mathbf{y}|| + || \mathbf{x} |||| \mathbf{z}|| < 6 +8=14.$$
Si $cos(\theta)=-1$, e $cos(\alpha)=1$, entonces multiplicamos la anterior desigualdad en cada uno de los lados por $(-1)$, y cambiar el sentido de la desigualdad en consecuencia, para llegar a
$$- || \mathbf{x} |||| \mathbf{y}|| - || \mathbf{x} |||| \mathbf{z}|| > -6 -8=-14.$$
Esto le da,
$$-14 <|| \mathbf{x} |||| \mathbf{y}|| cos (\theta) - || \mathbf{x} |||| \mathbf{z}|| cos (\alpha) < 14$$
o,
$$\left | || \mathbf{x} |||| \mathbf{y}|| cos (\theta) - || \mathbf{x} |||| \mathbf{z}|| cos (\alpha) \right | < 14,$$
$$| \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} - \mathbf{x} \cdot \mathbf{z}| < 14.$$
Es esto correcto? Si es así, es mi explicación de los valores extremos lo suficientemente riguroso?
(b) $B:= \left \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : ||\mathbf{x}|| <1 \right \}.$ Si $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in B$, muestran que $$\mathbf{w} = \frac{(\mathbf{x} \cdot \mathbf{y})\mathbf{z} + (\mathbf{x} \cdot \mathbf{z})\mathbf{y} + (\mathbf{z} \cdot \mathbf{y})\mathbf{x}}{3}$$ pertenece a B.
Utilizando el mismo razonamiento que antes, y la definición de los productos de puntos como el producto de las longitudes de los vectores y el coseno del ángulo entre los vectores, tengo
$$|| \mathbf{w} || = \left \| \frac{(\mathbf{x} \cdot \mathbf{y})\mathbf{z} + (\mathbf{x} \cdot \mathbf{z})\mathbf{y} + (\mathbf{z} \cdot \mathbf{y})\mathbf{x}}{3} \right \| < \left \| \frac{\mathbf{z} + \mathbf{y} + \mathbf{x}}{3} \right \| < \frac{||\mathbf{z}||}{3} + \frac{||\mathbf{y}||}{3} + \frac{||\mathbf{x}||}{3} < 1$$
Por eso, $\mathbf{w} \in B$.
(c) Deje B como en el anterior, y vamos a $ \mathbf{z}$, $\mathbf{w} \in B$. Demostrar que $$|\mathbf{x} \cdot \mathbf{z} - \mathbf{y} \cdot \mathbf{w} | \leq \left \| \mathbf{y}-\mathbf{z} \right \| + \left \| \mathbf{x}-\mathbf{w} \right \|$$
$$|\mathbf{x} \cdot \mathbf{z} - \mathbf{y} \cdot \mathbf{w} | \leq |\mathbf{x} \cdot \mathbf{z} - \mathbf{z} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{z} \cdot \mathbf{w} - \mathbf{y} \cdot \mathbf{w} | $$
$$\leq |\mathbf{z}| \cdot |\mathbf{x} - \mathbf{w}| + |\mathbf{w}| \cdot |\mathbf{z} - \mathbf{y}|$$
$$\leq ||\mathbf{z}|| \cdot ||\mathbf{x} - \mathbf{w}|| + ||\mathbf{w}|| \cdot ||\mathbf{z} - \mathbf{y}||$$
$$\leq ||\mathbf{x} - \mathbf{w}|| + ||\mathbf{z} - \mathbf{y}||$$
El aporte se agradece.
