Es un histórico de la notación. E. g.
$$
f = \int \!\! df
$$
fue interpretado como la suma (integral es un símbolo estilizado de la "S") infinitesimal bits de $df$, llamado diferencial.
Hoy en día todo el mundo sabe que no hay infinitesimals (en $\mathbb{R}$, un par de incursionar en la no-estándar de análisis), pero todavía utilizar esto como un "Kalkül" una receta para producir resultados correctos la mayoría del tiempo. (E. g. separación de variables)
El diferencial indica la integración de la variable. Uno podría haber llegado con una notación diferente, que simplemente hace codificar la integración y la variable objeto de la integración. Pero he experimentado ninguno hasta el momento.
En ciertas áreas de la física, el diferencial de $df$ está escrito directamente después de que el signo integral, esto es útil por ejemplo en la termodinámica donde uno realiza las integrales iteradas sobre muchas variables, donde ayuda a mantener la supervisión en las fórmulas. Destaca también la interpretación de la $\int\!\!df$ como un operador.
Para la integral de Lebesgue $\int f d\mu$ $\mu$ representa una medida. No estoy seguro de si alguna vez han leído o escuchado un plazo para $d\mu$, ciertamente no es diferencial, en el sentido clásico.
