¿Cómo soluciono esto?

Question

Pensé que el volumen de un toro es

$4\pi R \int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-y^2}dy$

Pero no sé cómo resolver una integral como este. ¿Cómo se hace?

Answer 1

El uso de la trigonometría sustitución: $y=r\sin(t)$

A continuación, $dy = r\cos(t)\,dt$ y, a continuación, límites de cambio a$\pm 1 =\sin(t)$, de modo que $t=\pm \pi/2$. Así

$$ 4\pi R\int_{-r}^r \sqrt{r^2-y^2}\,dy = 4\pi R \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{r^2-r^2\sin^2(t)}\cdot r\cos(t)\,dt $$ $$= 4\pi R \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{r^2\cos^2(t)}\cdot r\cos(t)\,dt = 4\pi R \int_{-\pi/2}^{\pi/2} r^2\cos^2(t)\,dt$$ $$= 4\pi R \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{r^2}{2}(1+\cos(2t))\,dt = 4\pi R \frac{r^2}{2}\pi$$

Alternativamente, usted puede notar que la integral es calcular el área de la parte superior a la mitad de un círculo de radio $r$ (lo $0.5\pi r^2$).

Answer 2

El estándar cosa a hacer es dejar a $y=r\sin t$. Rápidamente llegamos a $\int_{-pi/2}^{\pi/2}r^2\cos^2 t\,dt$. Ahora uno se le enseña a usar el hecho de que $\cos 2t=2\cos^2 t-1$.

Pero en un sentido que no tiene que hacer ningún trabajo para encontrar la integral. Para $$\int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}\,dx$$ es el área debajo de la curva de $y=\sqrt{r^2-x^2}$, por encima de la $x$-eje, de$x=-r$$x=r$. De modo que la integral es el área de un semicírculo de radio $r$. Esta área es $\pi r^2/2$. Cambiar el nombre de la variable de integración a $y$ no cambia la integral definida, por lo que $$\int_{-r}^r\sqrt{r^2-y^2}dy=\frac{\pi r^2}{2}.$$

Comentario: Su toro puede ser pensado como el obtenido por la rotación del círculo con centro de $(0,R)$ y radio de $r$ sobre el $x$-eje. Hay un antiguo teorema de Vilano que dice que si usted rotar una región $K$ sobre un eje externo, entonces el volumen del sólido de revolución obtenido es igual al área de la $K$ veces la distancia que el centro de gravedad de $K$ viajes. En nuestro caso, el área de $K$$\pi r^2$, y el centroide de $K$$(0,R)$, por lo que el centro de gravedad viaja una distancia $2\pi R$. De ello se deduce que el volumen del toro es $(\pi r^2)(2\pi R)$.