¿Existe una fórmula para obtener el número de formas en que un láser rebotará en un material reflectante circular en 4 veces, volviendo a su posición original?
Así que la respuesta correcta es 4, pero ¿hay alguna fórmula?
Aquí hay una imagen que muestra las 4 formas:
Habrá $\phi(n\mathord{+}1) $ opciones para $n$ rebota como se ilustra, donde $\phi()$ es Función totiente de Euler contando todos los números menores que $n$ y coprima a $n$ .
Tomando la ilustración de la izquierda como caso base, el rayo necesita golpear esos mismos puntos para encontrar su camino de vuelta al inicio. Sin embargo, si el punto inicial elegido es un divisor del número total de puntos del polígono del caso base, no golpeará todos los puntos antes de alcanzar de nuevo el punto inicial.
Donde $n\mathord{+}1$ es un primo, como en su ejemplo, la respuesta será $n$ .
Los puntos en los que el rayo choca por primera vez con el círculo tienen ángulos $\frac{2k\pi}{n+1}$ desde el punto inicial. Si $\gcd(k,n+1)\gt1$ El rayo volverá al punto de partida después de $\frac{n+1}{\gcd(k,n+1)}-1$ rebotes, por lo que sólo queremos contar el número de $1\le k\le n$ para que $\gcd(k,n+1)=1$ . Esto es $\phi(n+1)$ donde $\phi$ es el Función Totiente de Euler .
Desde $\phi(4+1)=4$ obtenemos $4$ formas.
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