Número de formas en las que un láser rebotará en un material reflectante circular en 4 ocasiones

Question

¿Existe una fórmula para calcular el número de veces que un láser rebotará en un material circular reflectante en 4 ocasiones, volviendo a su posición original?

Entonces la respuesta correcta es 4, ¿pero hay una fórmula?

Aquí hay una imagen que muestra las 4 maneras:

Answer 1

Habrá $\phi(n\mathord{+}1)$ opciones para $n$ rebotes como se ilustra, donde $\phi()$ es la función phi de Euler, contando todos los números menores que $n$ y coprimos a $n.

Tomando la ilustración más a la izquierda como caso base, el rayo necesita golpear los mismos puntos para encontrar su camino de vuelta al inicio. Sin embargo, si el punto inicial elegido es un divisor del número total de puntos en el polígono del caso base, no golpearás cada punto antes de volver al punto de inicio.

Cuando $n\mathord{+}1$ es primo, como en tu ejemplo, la respuesta será $n$.

Answer 2

Los puntos donde el rayo golpea primero al círculo están a ángulos $\frac{2k\pi}{n+1}$ desde el punto inicial. Si $\gcd(k,n+1)\gt1$, entonces el rayo volverá al punto de inicio después de $\frac{n+1}{\gcd(k,n+1)}-1$ rebotes, por lo que solo queremos contar el número de $1\le k\le n$ de manera que $\gcd(k,n+1)=1$. Esto es $\phi(n+1)$ donde $\phi$ es la Función Totient de Euler.

Dado que $\phi(4+1)=4$, obtenemos $4$ maneras.