Demostrar que no existe ningún homomorfismo de $\mathbb{Z}_{8} \oplus \mathbb{Z}_{2}$ ont0 $\mathbb{Z}_{4} \oplus \mathbb{Z}_{4}$

Question

Demostrar que no existe ningún homomorfismo de $\mathbb{Z}_{8} \oplus \mathbb{Z}_{2}$ ont0 $\mathbb{Z}_{4} \oplus \mathbb{Z}_{4}$ .

Mi idea para la prueba : Que $\phi$ sea dicho homomorfismo. Dado que Ker $\phi$ es un subgrupo de $\mathbb{Z}_{8} \oplus \mathbb{Z}_{2}$ entonces debo encontrar todos los posibles subgrupos de la misma y luego demostrar que $(\mathbb{Z}_{8} \oplus \mathbb{Z}_{2})/$ Ker $\:\phi $ no es isomorfo con $\mathbb{Z}_{4} \oplus \mathbb{Z}_{4}$ donde Ker $\phi$ puede ser cualquiera del subgrupo. Para demostrar que no es isomorfo hay que encontrar elementos en $\mathbb{Z}_{8} \oplus \mathbb{Z}_{2}$ que tiene un orden tal que ningún elemento de $\mathbb{Z}_{4} \oplus \mathbb{Z}_{4}$ tener ese orden.

¿Hay alguna forma mejor ?

Answer 1

Una función suryectiva entre dos conjuntos finitos de la misma cardinalidad es también inyectiva, por lo que su homomorfismo sería un isomorfismo. Esto no es posible, porque el primer grupo tiene un elemento de orden $8$ y el segundo no.