Base para una topología, la topología euclidiana y Hausdorff

Question

Estoy tratando de resolver un ejercicio a partir de una antigua examen, pero estoy atascado en algunas partes del ejercicio, que no son muy claros para mí o no me puedo mover. Yo estaría muy contento si alguien me puede ayudar. Así que, este es el ejercicio:

En $\mathbb{R}$ considera la colección de $\mathbb{B} :=\left \{ [a,b) \subset \mathbb{R}: a,b \in \mathbb{R}, a<b \right \}$ (a) Probar que $\mathbb{B}$ es una base para una topología $\tau$ $\mathbb{R}$ y $\tau$ satisties el axioma $T_{2}$.

Ok, aquí he demostrado fácilmente que esta colección es una base. No entiendo por qué la $\tau$ debe ser una topología de Hausdorff espacio...sabemos que $\mathbb{R}$ es incontable y tiene una infinidad de elementos. En este caso no puede ser Hausdorff?

(b) Considerar la función identity $I: (\mathbb{R},\tau )\rightarrow (\mathbb{R},\tau _{\varepsilon })$ donde $\tau _{\varepsilon }$ denota la costumbre de la topología euclidiana. Es $I$ continua? Es un homeomorphism?

(c) No $\tau$ satisfacer el axioma $T_{3}$? $T_{3}$ fue acerca de que un conjunto cerrado y un punto, que no esté contenida en este conjunto, han desunido abrir barrios.

Gracias de antemano!

Answer 1

Vamos a entender el caso de $T_2$. A considerar algunos de los $x,y\in \Bbb R$ - tenemos que venir para arriba con dos barrios, uno por cada punto, que no se cruzan. Deje $\delta=|x-y|$ $$ N_x = [x-\delta/3,x+\delta/3)\quad N_y = [y-\delta/3,y+\delta/3) $$ que son claramente abierto no se cruzan.

Para el caso b) - tenga en cuenta que $\mathrm{id}$ ser un homeomorphism implica que las topologías son equivalentes. Claramente, este no es el caso ya que las $[0,1)$ no es abierto en la topología Euclidiana.

Espero que estas sugerencias para ayudar a que la comprobación $T_3$ y una continuidad de $\mathrm{id}$ por ti mismo, de lo contrario, por favor, dígale lo que está claro para usted.

Answer 2

En primer lugar observamos que no sólo es la colección de $\mathbb{B}$ una base, cada intervalo abierto $(a,b)$ está abierto en la base que se define a partir de esta topología $\tau$ (esto se llama la línea de Sorgenfrey, por lo general): si $x \in (a,b)$ $[x,b)$ $\mathbb{B}$ y contiene $x$ y es un subconjunto de a $(a,b)$, por lo que cada punto de $(a,b)$ es un punto interior de a $\tau$. Esto significa que $\tau_{\epsilon}$, la topología Euclidiana sobre $\mathbb{R}$, es un subconjunto de a $\tau$, ya que la primera es generada por los intervalos abiertos.

Esto muestra que la identidad en (2) es continua, pero no un homeomorphism (no es una tarjeta abierta, como todos los sets de $[a,b)$ no están abiertos en $\tau_{\epsilon}$). También, como $\tau_{\epsilon}$ es Hausdorff ya podemos separar todos los puntos en $\mathbb{R}$ utilizando los conjuntos de que la topología, que están ya en $\tau$, por lo que el último también es Hausdorff.

Como todos los servicios básicos de abrir conjuntos de $\tau$ son de hecho clopen (cerrado y abierto), de la regularidad (y completa regularidad así) son triviales: si $x \notin C$ donde $C$ es cerrado, un conjunto de la forma $O = [x,a)$ misses $C$ (estos conjuntos forman una base local para $x$) y por lo $O$ $\mathbb{R}\setminus O$ son disjuntas abrir establece la separación de $x$ $C$.

Con algo más de trabajo puede demostrar que $(\mathbb{R},\tau)$ es hereditariamente normal, así, primero contables, Lindelöf y separables, pero no de segunda contables. Se utiliza con mucha frecuencia en el ejemplo (ver la entrada de la Wikipedia ).

Answer 3

(a) Deje $x<y$ ser diferentes puntos, entonces si $r<\frac{y-x}2$, entonces los intervalos de alrededor de $x$ $y$ radio $r$ son disjuntas.

(b) Puesto, $\tau_\varepsilon$ puede ser generado por el abierto de los intervalos de $(a,b)$, esta pregunta es para preguntar si estos permanecen abiertos en $\tau$, y vice-versa, si $[a,b)$ están abiertas en $\tau_\varepsilon$. Uno de estos es falso.

(c) Sugerencia: ¿cuáles son los conjuntos cerrados de acuerdo a $\tau$?