La curiosidad acerca de una identidad simple

Question

Considerar la bien conocida fórmula

$$1^3 + 2^3 +\cdots+ n^3 = (1+\cdots+n)^2 , n \in N$$

Ahora supongamos que, para todos los $n \in N$ la identidad es verdadera :

$$1^k + 2^k +\cdots+ n^k = (1+\cdots+n)^{k-1} $$

con $k \in N$ fijo. Que es una de las posibles valores de $k$ ?

Alguien me podría señalar una referencia?

Lo siento por mi inglés no es bueno

Gracias de antemano

Answer 1

El dominante término de la izquierda es $$ \frac{1}{k+1} n^{k+1}. $$ El lado derecho es $$ \left( \frac{n^2 + n}{2} \right)^{k-1}, $$ dominante plazo $$ \frac{2}{2^k} n^{2k - 2}. $$

Por lo $$ k+1 = 2k - 2 $$ y $$ 3 = k $$

Answer 2

Considere el caso en que $n = 2$. Entonces tenemos que $1 + 2^k = 3^{k-1}$. El catalán es una Conjetura (Mihăilescu del teorema), tenemos que $k = 3$ (el teorema de, básicamente, establece que las únicas dos consecutivos perfecto poderes se $2^3$$3^2$.)