Deje $X_1, X_2,...$ ser yo.yo.d integrable variables aleatorias en $\mathbb{R}$$\mathbb{E}[X_i] =0$$\mathbb{P} (X_i >0) >0$. Vamos $x>0$, $S_0 = x$, y $S_n= x + \sum_{i=1}^{n} X_i $. Para cada $0<r< \infty$, podemos definir \begin{equation} \eta = \inf \{ n \geq 0 : S_n \leq 0 \text{ or } S_n \geq r\}. \end{equation} No es difícil ver que $\mathbb{E} [ \eta ] < \infty$. Sin embargo, el problema es demostrar que el $X_{\eta}$ es integrable. (No es trivial en absoluto, como el proceso de $\{X_n\}$ NO es una martingala. Por lo tanto, Wald Identidad o el Opcional de frenado Teorema no funcionan.) Alguna idea?
Respuestas
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Si $x$ no $(0,r)$, $\eta=0$ $X_\eta$ es indefinido, por lo tanto asumimos que $x$$(0,r)$.
Ya se sabe que $\eta$ es integrable, Wald del teorema asegura que $S_\eta$ es integrable (y ofrece a sus expectativas, que no vamos a necesitar). Además, $S_{\eta-1}$ $(0,r)$ por la definición de $\eta$ $|X_\eta|\leqslant|S_\eta|+|S_{\eta-1}|$ por la desigualdad triangular, por lo tanto $|X_\eta|\leqslant|S_\eta|+r$ casi seguramente, lo que demuestra que $X_\eta$ es integrable.
DagGum
Puntos
1
En primer lugar, $S_\eta$ es una martingala cuyos incrementos limitados esperanza condicional e $\mathbb{E}[\eta] < \infty$, por lo que la opcional de frenado teorema implica que $S_\eta$ es integrable. Segundo, tenga en cuenta que el $\{S_\eta \leq 0\}=\{X_\eta \leq 0\}$. Juntos, estos implican que $$-\infty < \mathbb{E}[S_\eta I(S_\eta \leq 0)]$$ $$\quad\quad\quad\quad\quad= \mathbb{E}[(S_{\eta-1} + X_\eta)I(X_\eta \leq 0)]$$ $$\quad\quad\quad\quad\leq \mathbb{E}(r+X_\eta)I(X_\eta \leq 0)]$$ $$\quad\quad\quad\quad\leq r + \mathbb{E}[X_\eta I(X_\eta \leq 0)]$$ donde $I$ es el indicador de la función. Esto implica que $\mathbb{E}[X_\eta^-] <\infty$.
Trate de hacer algo similar con $\infty > \mathbb{E}[S_\eta I(S_\eta >0)]$ a la conclusión de que la $\mathbb{E}[X_\eta^+] < \infty$. A continuación, observe que hemos fallado en tomar en cuenta la posibilidad de que $\eta <2$ y hacer las modificaciones necesarias.
