¿Por qué Es una Función Definida Como Tener Un Único Valor de Y de Salida?

Question

Sé que es definido de tal forma que no hay más de un valor de y de salida para cualquier valor x de entrada, pero me pregunto por QUÉ se define de esa manera? ¿Por qué no podemos aplicar todo lo que sabemos acerca de las funciones de las ecuaciones que tienen más de un valor de y de salida para cualquier valor de x de la entrada?

En definitiva, ¿cuál es el beneficio o la razón para definir una función de esta forma? Al mismo tiempo, un poco de contexto histórico también sería apreciada (es decir, cuando el concepto se originó y por qué).

Gracias,

Moshe

Answer 1

Estrictamente hablando, un "bien definido" la función de los asociados de una, y sólo una, salida a alguna entrada en particular. Una función no sería bien definido si decir $y = f(x)$ tal que $y$ puede tomar cualquier número de valores en cualquier entrada en particular. Suponga que la entrada de $\;x = a\;$ salidas de más de un valor distinto, por lo que el $y = f(a) \in\{y_1, y_2, ..., y_k, ...\} $. Nunca podríamos ser capaces de decir lo que, precisamente, $y$ es al $x = a$.

Si $y = f(a) = b$, e $y = f(a) = c$, e $\,b\ne c$, entonces el valor de la función de $\,\,f(x) = y\,$ $\,a\,$ es ambigua: $y$ no se especifica ningún valor en $a$. Es decir, su valor no está bien definida en $a$, y tal vez no bien definidos en otras entradas, así. Tampoco podemos decir mucho sobre el comportamiento de una función en un valor determinado, si puede tomar muchos valores en un punto dado.

E. g. ¿Cómo podríamos definir la continuidad de, digamos, un valor real multifunción?

La estricta definición de una función, en términos de "imprimir" exactamente un valor para cualquier entrada dada en realidad no es más que un intento de mantener las funciones bien definidas, y por lo tanto las propiedades de las funciones bien definidas.

Pero usted puede explorar los siguientes:

Ver esta entrada en varios valores de "funciones":

Una función de varios valores (en breve: multifunción, otros nombres: muchos de los valores de la función, el conjunto de valores de la función, el conjunto de valores de mapa, multivalor mapa, multimap, la correspondencia, la compañía aérea) es una izquierda total de la relación; es decir, cada entrada está asociado con al menos una salida.

El término "varios valores de la función" es, por lo tanto, un nombre poco apropiado porque las funciones son de un solo valor. Multivalor funciones menudo surgen a partir de las funciones que no inyectiva. Tales funciones no tienen una función inversa, pero sí tienen una relación inversa. Los varios valores de la función corresponde a esta relación inversa. [negrita-la cara de la mina]

Answer 2

Multi-funciones con valores no existen, pero, a continuación, que limita en gran medida de nuestra capacidad para decir mucho acerca de ellos. Para las funciones, no sólo estamos preocupados por el valor que se necesita, pero también el comportamiento de la función alrededor del punto. Si tenemos múltiples funciones con valores, entonces, ¿qué podemos decir sobre el comportamiento del punto será muy restringido, como tiene que ser la misma independientemente del valor que se elige.

Un ejemplo común sería que $f(x,y) = x^2 + y^2$, y preguntar por los valores que $f(x, y) = 1$ (es decir, el círculo unitario). El teorema de la función implícita se utiliza, para nosotros a la conclusión de que hay 2 funciones, a saber,$F(x) = \sqrt{1-y^2}$$F(x) = - \sqrt{1-y^2}$. Si habíamos dicho que $F(x) = \pm \sqrt{1-y^2}$, sería difícil hablar sobre el comportamiento de los $F'(x)$ exactamente.

Answer 3

Hay un interesante mensaje por Tim Gowers en su blog http://gowers.wordpress.com/2009/06/08/why-arent-all-functions-well-defined/

Vale la pena señalar, aunque, como una nota a pie de página, que la insistencia en que las funciones (propiamente dicho) tener un solo valor es una relación de finales de comer. G. H. Hardy, por ejemplo, en su canónica de Un Curso de Matemáticas Puras dice que la característica de tomar un único valor para un determinado argumento "no significa de ninguna manera involucrado en la idea general de una función".