Cálculo de la integral triple sobre un elipsoide

Question

Estoy tratando de calcular $$\iiint \frac{dx\,dy\,dz}{\sqrt{1 - \left(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}+\frac{z^2}{25}\right)}}$$ sobre el elipsoide $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}+\frac{z^2}{25}=1$ . No he podido encontrar una solución. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Primero haz el cambio de variables $(x,y,z) = (3u,4v,5w)$ . El jacobiano de esta transformación es una matriz diagonal $[3, 4, 5]$ con el determinante $3\cdot 4 \cdot 5 = 60$ . Por lo tanto, tenemos $$ \iiint_E \frac{dx dy dz}{\sqrt{1-(x^2/9+y^2/16+z^2/25)}} = \iiint_B \frac{60du dv dw}{\sqrt{1-(u^2+v^2+w^2)}}. $$ Aquí $E$ es el elipsoide original, y $B$ es la bola unitaria. Entonces cambiamos a coordenadas esféricas $$ =\int_{0}^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1 \frac{60\rho^2\sin \phi d\rho d\phi d\theta }{\sqrt{1-\rho^2}}. $$ Como los límites son constantes, podemos evaluar las integrales en el orden que prefiramos. Integrando en $\phi$ da un factor de $2$ e integrando en $\theta$ un factor de $2\pi$ así que $$ =240\pi\int_0^1 \frac{\rho^2}{\sqrt{1-\rho^2}}d\rho. $$ Se trata de una integral estándar que puede calcularse por partes (diferenciar $\rho^2\to2\rho$ , integrar $\frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}\to\arcsin \rho$ ) o la sustitución trigonométrica y resulta $$ =240\pi \cdot \pi/4 = 60 \pi^2. $$