4 votos

Por favor, ayuda a mostrar una función es ilimitado y por lo tanto no es Riemann Integrable

Me pregunto cómo puede mostrar la siguiente función no es Riemann integrable.

Ya que estamos en un recinto cerrado y acotado intervalo no puedo utilizar que es ilimitado, etc (creo)

$$g(x)=2x\cos\frac{1}{x^2}+\frac{2\sin(\frac{1}{x^2})}{x}$$ if $x \neq 0$, $0$ if $x=0$ se considera en [-1,1]

¿Cómo podría yo demostrar que no es Riemann integrable?

Se me dio la sugerencia en los comentarios a considerar $$x_{n}=\frac{1}{\sqrt{(2n+1/2)(\pi)}}$$

Cuando considero la sugerencia y el enchufe puedo conseguir $$2\frac{1}{\sqrt{(2n+1/2)\pi}}\cos\frac{1}{(2n+1/2)\pi}+2\sin\frac{1}{(2n+1/2)\pi} {\sqrt{(2n+1/2)\pi}}$$ Sin embargo, todavía no puedo averiguar cómo puedo usar esto para mostrar que no es acotada. Por favor alguien puede arrojar luz sobre esta parte? Pero no estoy haciendo progresos en cómo esto puede ser usado para probar que no es Riemann integrable

0voto

user254665 Puntos 4075

En cada nbhd de $0$ no es estrictamente una disminución de secuencia positiva $(x_n)_{n\in N}$ $\sin 1/x_{2 n}^2=1$ $\sin 1/x_{2 n-1}^2=-1.$ Desde $2 x_n \cos (1/x_n^2)=0$ hemos $$g(x_{2 n})=2/x_{2 n}\; \text { and }\; g(x_{2 n-1}=-2/x_{2 n-1}.$$ The variation in $g$ in any nbhd of $0$ is therefore at least $$\sup_{m\in N} \sum_{n=1}^m |f(x_{2 n-1})-f(x_{2 n})|=\sup_{m\in N}\sum_{n=1}^k(2/x_{2 n-1}+2/x_{2 n})\geq \sup_{m\in N}2/x_{2 m}=\infty.$$ Remark: The term $2 x \cos 1/x^2$ is bounded in absolute value by $2$ for $x\ne 0$, so if it were replaced by any term bounded (in absolute value) by some $k>0$ we would have $|f(x_{2 m-1})-f(x_{2 m})|\geq 2/ x_{2 m-1}+2/x_{2 m}-2 k >2/x_{2m}-2 k,$ which goes to $\infty$ as $m\to \infty.$

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X