Evaluar $\lim\limits_{n\to \infty}\left\{(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})\dots(1+\frac{n}{n})\right\}^{\frac{1}{n}}$

Question

La pregunta es evaluar :

$$\lim_{n\to \infty}\left\{ \left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\dots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right\}^{\frac{1}{n}}$$

He tratado de hacer algo como esto, pero no es conseguir el mejor...

$(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})\cdots(1+\frac{n}{n})=(\frac{n+1}{n})(\frac{n+2}{n})\cdots (\frac{n+n}{n})=\frac{1}{n^n}(n+1)(n+2)\dots(n+n)$

por favor dar alguna sugerencia para seguir adelante.

Answer 1

Considerar el registro de $[(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})\dots(1+\frac{n}{n})]^{\frac{1}{n}}$:

$$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln \left( 1+\frac{k}{n}\right).$$

El límite de esta suma es igual a $\int_0^1\ln(1+x)dx$, por lo que

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} [(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})\dots(1+\frac{n}{n})]^{\frac{1}{n}} &= \lim_{n\to\infty} \exp\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln \left( 1+\frac{k}{n}\right) \right)\\ &= \exp\left(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln \left( 1+\frac{k}{n}\right) \right)\\ &= \exp \left( \int_0^1\ln(1+x)dx\right) \end{aligned}$$

Answer 2

$$(\frac{n+1}{n})(\frac{n+2}{n})\dots (\frac{n+n}{n})=\frac{1}{n^n}(n+1)(n+2)\dots(n+n)$$

$$=\lim_{n\rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^n}\frac{(2n)!}{n!}\right]^{1/n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\left[\frac{\sqrt{4\pi n}\cdot 2^{2n}\frac{n^{2n}}{e^{2n}}}{\sqrt{2\pi n}\cdot \frac{n^{2n}}{e^n}}\right]^{1/n}=\lim_{n\rightarrow \infty }[\sqrt{2}]^{1/n}\cdot \frac{4}{e}=\frac{4}{e}$$

Aquí he utilizado la aproximación de Stirling $n!$,yo.e- $n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}$