Conjunto de generador de notación, a la izquierda o a la derecha de :| convenio

Question

Conjunto de generador de notación que especificar un subconjunto como $Z$ o $R$ tienden a poner esta condición en la izquierda, mientras que otras condiciones de ir a la derecha.

$$\{ x ∈ Z : x > 0 \}$$

¿Por qué esta preferencia sobre, digamos:

$$\{ x : x > 0 \textrm{ and } x ∈ Z\}$$

Me doy cuenta de que si la izquierda tiene más que un simple término que tiende a no tener la contiene la expresión. Por ejemplo:

$$\{ x + 1 : x > 0 \}$$

De tal forma podría un $Z$ aparecen a la izquierda, o debe aparecer a la derecha si necesita ser especificado?

En qué situaciones puede la condiciones de ir a la izquierda, en contraposición a la derecha de la $:$ operador?

Answer 1

Una informal respuesta:

Yo no se centran demasiado en "de qué lado de la $:$" cosas que pasa. No es muy significativa. Mientras quien es el uso conjunto de la notación es prestar atención a lo que hacen, y cuidar a la realidad de forma inequívoca definir un conjunto, no importa de qué lado de la $:$ tiene más cosas en él.

Cosas a menudo va a la derecha de la $:$ cuando uno se está formando un subconjunto de un conjunto $S$ que es determinado mediante la imposición de condiciones explícitas sobre los elementos de la "más grande". Ejemplos:

• $\{(x,y,z) \in \mathbb{Z}^3 : x^2 + y^2 = z^2\}$ (define un subconjunto de a $\mathbb{Z}^3$ impuesta por una expresión algebraica de la condición).

• $\{x \in \mathbb{R}: x^5 + 3x + 1 = 0\}$ (define un subconjunto de a $\mathbb{R}$).

Cuando un subconjunto de un conocido conjunto $S$ se describe en este camino, muchas veces es muy fácil para probar si es o no un determinado elemento de $S$ es en el subconjunto (porque usted tiene una lista de condiciones para la verificación). Para probar si es o no un determinado elemento $(a,b,c)$ $\mathbb{Z}^3$ es en el primer set, solo puedo calcular $a^2 + b^2$ y a ver si es $c^2$. Para probar si es o no un número real $t$ es en el segundo set, solo puedo calcular $t^5 + 3t + 1$ y ver si me da $0$.

Por el lado de abajo, cuando un subconjunto de un conocido conjunto $S$ es descrito de esta manera, puede ser difícil para la exhibición de determinados elementos del subconjunto sin trabajo. Por ejemplo, para encontrar un elemento del segundo conjunto anterior, se tiene que encontrar una solución a la ecuación de $x^5 + 3x + 1 = 0$.

Más cosas que a menudo va a la izquierda de la $:$ cuando uno se está formando un subconjunto de un conjunto $S$ que es generado por una explícita proceso de construcción. Por ejemplo:

• $\{(\cos(x),\sin(x)): x \in \mathbb{R}\}$. (Un subconjunto del conjunto $S = \mathbb{R}^2$.)

• $\{a^2 + b^2: a, b \in \mathbb{Z}\}$. (Un subconjunto del conjunto $S = \mathbb{Z}$.)

Cuando un conjunto se describe en este camino, estamos a menudo en el reverso de la situación anterior. Esto puede implicar un poco de trabajo para probar si es o no un determinado elemento de la "conocida" está en el subconjunto. (Ejemplo: es $1234$ en el segundo set? Probablemente usted no puede responder de inmediato, ya que es la cuestión de si o no usted puede encontrar los números enteros $a$$b$$a^2 + b^2 = 1234$, y esto es un poco de un problema de matemáticas.) Pero es fácil exhibir determinados elementos del subconjunto sin trabajo. (Por ejemplo, $1^2 + 5^2$ $2^2 + 4^2$ $6^2 + 8^2$ son claramente los elementos del segundo conjunto.)

Muchos de los problemas en matemáticas puede ser pensado como la búsqueda de una descripción de un conjunto que se ha dado en una de las dos formas antes mencionadas, en términos de la otra forma. Esto es debido a que muchos de los problemas en las matemáticas se reducen a una de las siguientes dos cosas:

• Uno tiene una lista de condiciones, y uno quiere una manera de generar cosas que la satisfacción de todas las condiciones, o
• Uno tiene una bien definida la regla que genera cosas, y uno quiere una lista de condiciones que caracterizan a la salida de la regla.

Espero que esto ayudó.

Answer 2

Por supuesto, todo es una elección estilística. Sin embargo, el $\{x\in Set: x$ hace algo$\}$ convenio tiene sus raíces en la teoría de conjuntos. Se encontró que el problema específico con el viejo intento de la teoría de conjuntos ("ingenua teoría de conjuntos") se llama sin restricciones de comprensión. En menos de términos extraños, sin restricciones de comprensión supone que todos los objetos que satisfacen alguna propiedad forma parte de un conjunto. Debido a cosas como Russel Paradoja, esto no funciona.

Por lo generalmente aceptado, axiomization de la teoría de conjuntos, llamados "ZFC," tenemos lo que se llama restringido comprensión. Esta es la misma cosa como sin restricciones de la comprensión, con la advertencia de que usted tiene la garantía de que todos los objetos que estamos tratando de poner en un conjunto que ya pertenecen a otro conjunto.

Por lo tanto, no podemos, estrictamente hablando, hablar sobre el conjunto de $\{x: x<3\}$, porque no se ha garantizado que el $x$'s llegó desde algún lugar. Pero podemos escribir $\{x: x\in\mathbb{Z}\text{ and }x<3\}$, y estar seguro de que esto es un juego. Sin embargo, pensar acerca de cómo esto se lee. "El conjunto de todos los objetos de $x$ tal que $x$ es un número entero y $x<3$." Es torpe, y por otra parte usted podría estar tentado a tirar de inmediato, porque lo digo yo "el conjunto de todos los objetos de tal manera que (propiedad)", que en general no está permitido.

Por escrito en lugar de $\{x\in\mathbb{Z} : x<3\}$, ahora se lee "el conjunto de todos los $x$ $\mathbb{Z}$ tal que $x<3$." De esta manera, se han dado a la frase más correcta esquema de "el conjunto de todos los $x$ in (conjunto) tal que (propiedad)," y el hecho de que usted no está utilizando sin restricciones de comprensión es mucho más evidente. Además, le dices a tu lector de que este conjunto es un subconjunto de a $\mathbb{Z}$, que puede ser apreciado por razones más prácticas.

Edit: lo Siento, yo no responder directamente a su pregunta. Por esa razón, se les suele poner el conjunto está garantizando la $x$'s viene de la izquierda, y la propiedad que nos demanda la $x$'s de satisfacer a la derecha.

Para su último ejemplo, me gustaría escribir $\{x+1\in\mathbb{Z} : x>0\}$. Bueno, yo en realidad iba a escribir $\{x\in\mathbb{Z} : x\geq 2\}$, pero eso es más por el estilo de una buena respuesta a su pregunta. En general, para una función de$A$$B$, me gustaría escribir $\{ f(x)\in B : x>0\}$, frente a algo torpe como $\{ f(x) ~~ (x\in A) : x>0\}$

(Yo todavía prefieren que el torpe de una a $\{x+1 : x>0\text{ and } x\in\mathbb{Z}\}$. De nuevo, vuelve a leerlo: "Uno más de todos los objetos $x$ tal que $x>0$ $x$ es un número entero"? No es bastante.)

Answer 3

Cada conjunto debe ser definido en el formulario de $\{x \in A : P(x)\}$, donde el $A$ ha sido definido previamente (por ejemplo, $\mathbb R$) y donde $P(\cdot)$ es una condición (tal vez una lógica de la composición de muchos subcondiciones) que es significativo cuando se aplica a elementos de $A$. Esto no fue entendido en el Siglo 19, antes de la teoría de conjuntos se convirtió en bien fundada, cuando las definiciones de los conjuntos de la forma $ \{x : P(x)\}$ se considera significativo, dando lugar a Russell famoso paradójico set $\{x : x\not\in x\}$. Por supuesto, a menudo se ve el formulario de $ \{x : P(x)\}$, donde el dominio de $x$ implícitamente se entiende, o se declara como parte de la $P(\cdot)$ condición. Pero (en mi humilde opinión) es mejor siempre a estado el dominio como en el primer formulario establecido.

Answer 4

Cuando utilice conjunto generador de la notación, el uso de $$\{x\in \hbox{Universe of discourse or subset threof }| {\rm TestForMembership}(x)\}.$$ Las cosas a la izquierda de la $|$ límites de la discusión y establece el contexto.